Prépa, 1re année › Polynômes › Poser une division euclidienne
Poser une division euclidienne : méthode (MPSI)
Méthode
Poser une division euclidienne
La démonstration d'existence est un algorithme.
- Ordonner $A$ et $B$ suivant les puissances décroissantes.
- Diviser le terme dominant du dividende courant par celui de $B$ : on obtient un monôme du quotient.
- Retrancher au dividende courant le produit de ce monôme par $B$.
- Recommencer tant que le degré du reste courant est $\geq\deg B$.
- Vérifier en développant $BQ+R$.
Exemple
Division de X^4+2X^3-X+3 par X^2+X+1
Soient $A=X^4+2X^3-X+3$ et $B=X^2+X+1$.
- $X^4/X^2=X^2$ ; $A-X^2B=X^3-X^2-X+3$.
- $X^3/X^2=X$ ; $(X^3-X^2-X+3)-XB=-2X^2-2X+3$.
- $-2X^2/X^2=-2$ ; $(-2X^2-2X+3)+2B=5$.
Le reste $5$ est de degré $0<2$ : on s'arrête. Donc $Q=X^2+X-2$ et $R=5$.
Vérification : $(X^2+X+1)(X^2+X-2)=X^4+2X^3-X-2$, et en ajoutant $5$ on retrouve $A$.
Remarque
Indépendance du corps
Si $A$ et $B$ sont à coefficients réels, l'algorithme n'utilise que des opérations dans $\mathbb{R}$ : le quotient et le reste sont réels. Par unicité, la division dans $\mathbb{C}[X]$ donne le même résultat. En particulier, si $B\mid A$ dans $\mathbb{C}[X]$ avec $A,B\in\mathbb{R}[X]$, alors $B\mid A$ dans $\mathbb{R}[X]$.