Règles de divisibilité : énoncé (MPSI)

• Si $A\mid B$ et $B\neq 0$, alors $\deg A\leq\deg B$.
• Si $A\mid B$ et $B\mid C$, alors $A\mid C$.
• Si $A\mid B$ et $A\mid C$, alors $A\mid BU+CV$ pour tous $U,V\in\mathbb{K}[X]$.
• $A\mid B$ et $B\mid A$ si et seulement si $A$ et $B$ sont associés.

Pour le premier point : $B=AQ$ avec $Q\neq 0$, donc $\deg B=\deg A+\deg Q\geq\deg A$. Pour le dernier : si $B=AQ$ et $A=BR$ avec $A\neq 0$, alors $A=AQR$, donc $QR=1$ par intégrité, et $Q$ est une constante non nulle ; si $A=0$, alors $B=0$.