Soient $A=2X^4-3X^3+X^2+4X-1$ et $B=X^2-X+2$.
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Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$.
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Déterminer l'unique polynôme $C$ de degré au plus $1$ tel que $B$ divise $A-C$.
À chaque étape, diviser le terme dominant du dividende courant par $X^2$.
On s'arrête dès que le reste courant est de degré strictement inférieur à $2$.
Pour la question 2, écrire $A-C=BQ+(R-C)$ et utiliser l'unicité de la division euclidienne.
1. On applique l'algorithme.
- $2X^4/X^2=2X^2$ et $2X^2B=2X^4-2X^3+4X^2$, donc $A-2X^2B=-X^3-3X^2+4X-1$.
- $-X^3/X^2=-X$ et $-XB=-X^3+X^2-2X$, donc $(-X^3-3X^2+4X-1)-(-XB)=-4X^2+6X-1$.
- $-4X^2/X^2=-4$ et $-4B=-4X^2+4X-8$, donc $(-4X^2+6X-1)-(-4B)=2X+7$.
Le reste $2X+7$ est de degré $1<2$ : on s'arrête. Donc $$Q=2X^2-X-4,\qquad R=2X+7.$$ Vérification : $$(X^2-X+2)(2X^2-X-4)=2X^4-X^3-4X^2-2X^3+X^2+4X+4X^2-2X-8=2X^4-3X^3+X^2+2X-8,$$ et en ajoutant $2X+7$ on retrouve $A$.
2. Soit $C$ de degré au plus $1$. On a $A-C=BQ+(R-C)$ avec $\deg(R-C)\leq 1<\deg B$. Par unicité de la division euclidienne, $R-C$ est le reste de la division de $A-C$ par $B$. Donc $B\mid A-C$ si et seulement si $R-C=0$, c'est-à-dire $C=R=2X+7$.
$Q=2X^2-X-4$, $R=2X+7$, $C=2X+7$