Soit $n\in\mathbb{N}$ et $B=X^3-X^2-X+1$.
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Factoriser $B$ dans $\mathbb{R}[X]$.
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Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $B$, en distinguant selon la parité de $n$.
Regrouper les termes de $B$ deux par deux pour faire apparaître un facteur commun.
Le reste s'écrit $aX^2+bX+c$. Il faut trois équations : deux évaluations et une dérivation.
Pour la dérivation, $1$ est racine double de $B$, donc $B(1)=B'(1)=0$.
1. $B=X^2(X-1)-(X-1)=(X-1)(X^2-1)=(X-1)^2(X+1)$. Ainsi $1$ est racine double de $B$ et $-1$ racine simple.
2. Comme $\deg B=3$, on écrit $X^n=BQ+R$ avec $R=aX^2+bX+c$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$.
- En évaluant en $1$ : $1=a+b+c$.
- En évaluant en $-1$ : $(-1)^n=a-b+c$.
- En dérivant : $(X^n)'=B'Q+BQ'+R'$. Comme $B(1)=B'(1)=0$, l'évaluation en $1$ donne $(X^n)'(1)=R'(1)$. Or $(X^n)'$ vaut $nX^{n-1}$ si $n\geq 1$ et $0$ si $n=0$ : dans les deux cas sa valeur en $1$ est $n$. Avec $R'=2aX+b$, on obtient $n=2a+b$.
On résout $$\begin{cases}a+b+c=1\\ a-b+c=(-1)^n\\ 2a+b=n\end{cases}$$ Par soustraction des deux premières lignes, $2b=1-(-1)^n$, donc $b=\dfrac{1-(-1)^n}{2}$. Puis $a=\dfrac{n-b}{2}$ et $c=1-a-b$.
- Si $n$ est pair : $b=0$, $a=\dfrac n2$, $c=1-\dfrac n2$.
- Si $n$ est impair : $b=1$, $a=\dfrac{n-1}{2}$, $c=1-\dfrac{n-1}{2}-1=\dfrac{1-n}{2}$.
Donc $$R=\frac n2X^2+1-\frac n2\ \text{ si $n$ est pair},\qquad R=\frac{n-1}{2}X^2+X+\frac{1-n}{2}\ \text{ si $n$ est impair}.$$ Contrôles : pour $n=0$, $R=1$ ; pour $n=1$, $R=X$ ; pour $n=2$, $R=X^2$ (ces trois polynômes sont de degré $<3$, ce sont bien leurs propres restes). Pour $n=3$, $R=X^2+X-1$, et en effet $X^3=B+X^2+X-1$.
$n$ pair : $R=\frac n2X^2+1-\frac n2$ ; $n$ impair : $R=\frac{n-1}2X^2+X+\frac{1-n}2$