Soit $n\geq 1$.
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Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $(X-1)^2$ divise $aX^{n+1}+bX^n+1$.
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On pose $P_n=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$. Montrer que $1$ est racine exactement double de $P_n$.
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Montrer que $P_n=(X-1)^2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k$.
$(X-1)^2$ divise $P$ si et seulement si $1$ est racine de multiplicité au moins $2$, ce qui se traduit sur $P(1)$ et $P'(1)$.
Pour la multiplicité exacte, calculer $P_n''(1)$.
Pour la question 3, calculer d'abord $(X-1)\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k$ en décalant l'indice dans l'une des deux sommes.
1. Soit $P=aX^{n+1}+bX^n+1$, non nul car de coefficient constant $1$. $(X-1)^2\mid P$ si et seulement si $1$ est racine de $P$ de multiplicité au moins $2$, c'est-à-dire si et seulement si $P(1)=P'(1)=0$. Avec $P'=(n+1)aX^n+nbX^{n-1}$ : $$\begin{cases}a+b+1=0\\ (n+1)a+nb=0\end{cases}$$ La première ligne donne $b=-1-a$ ; en reportant, $(n+1)a-n-na=0$, donc $a=n$ puis $b=-(n+1)$. Le seul couple est $(a,b)=(n,-(n+1))$.
2. D'après la question 1, $P_n(1)=P_n'(1)=0$. On calcule $$P_n''=n(n+1)n\,X^{n-1}-(n+1)n(n-1)X^{n-2}$$ (pour $n=1$, le second terme est nul). Donc $P_n''(1)=n(n+1)\big(n-(n-1)\big)=n(n+1)\neq 0$. Par la caractérisation de la multiplicité, $1$ est racine exactement double de $P_n$.
3. Posons $S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k$. Alors, en posant $j=k+1$ dans la première somme : $$(X-1)S=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k=\sum_{j=1}^{n}jX^j-\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k.$$ Le terme $j=n$ donne $nX^n$, le terme $k=0$ donne $-1$, et pour $1\leq k\leq n-1$ le coefficient de $X^k$ vaut $k-(k+1)=-1$. Donc $$(X-1)S=nX^n-\sum_{k=0}^{n-1}X^k.$$ En multipliant par $X-1$ et en utilisant $(X-1)\sum_{k=0}^{n-1}X^k=X^n-1$ : $$(X-1)^2S=nX^{n+1}-nX^n-(X^n-1)=nX^{n+1}-(n+1)X^n+1=P_n.$$ Cohérence avec la question 2 : $S(1)=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)=\frac{n(n+1)}{2}\neq 0$, donc $(X-1)^3\nmid P_n$.
$a=n$, $b=-(n+1)$ ; $1$ racine double ; $P_n=(X-1)^2\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)X^k$