Traduire une divisibilité à l'aide des racines complexes du diviseurCalculer avec j et ses puissancesÉtudier une multiplicité par la dérivée
On note $j=e^{2i\pi/3}$. Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $P_n=X^{2n}+X^n+1$.
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Déterminer les entiers $n$ tels que $X^2+X+1$ divise $P_n$.
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Pour ces entiers, montrer que $(X^2+X+1)^2$ ne divise pas $P_n$.
Indice 1
Les racines de $X^2+X+1$ sont $j$ et $\overline j$, distinctes ; $P_n$ est à coefficients réels.
Indice 2
Utiliser $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$, et raisonner selon le reste de $n$ modulo $3$.
Indice 3
Pour la question 2, calculer $P_n'(j)$ et factoriser par $nj^{n-1}$.
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