Prépa, 1re année › Probabilités sur un univers fini › Système complet d'événements
Système complet d'événements : définition (MPSI)
Définition
Système complet d'événements
Une famille finie $(A_1,\dots,A_n)$ d'événements est un système complet d'événements si :
- les $A_i$ sont deux à deux incompatibles : $A_i\cap A_j=\emptyset$ pour $i\neq j$ ;
- leur réunion est l'univers : $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega$.
Autrement dit, chaque issue réalise exactement un des $A_i$.
Exemple
Lancer d'un dé
On lance un dé à six faces : $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.
- L'événement « obtenir un nombre pair » est $A=\{2,4,6\}$, son contraire est $\overline{A}=\{1,3,5\}$.
- $(\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\})$ est un système complet d'événements.
- Pour tout événement $A$, le couple $(A,\overline{A})$ est un système complet d'événements. C'est le cas le plus utilisé.
Remarque
Lois de De Morgan
Pour tous événements $A_1,\dots,A_n$ : $$\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}=\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\qquad\text{et}\qquad \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i}=\bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}.$$ En mots : le contraire de « au moins un $A_i$ est réalisé » est « aucun $A_i$ n'est réalisé ».
S’entraîner
- Réunion, intersection et indépendance à partir de trois données
- Probabilité définie par une distribution
- Deux dés : ne pas inverser le conditionnement
- Pièces défectueuses et trois machines
- Rang de la première boule blanche
Dans le cours
Probabilités sur un univers fini : Système complet d'événements