Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé fini $(\Omega,P)$ tels que $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cup B)=0{,}8$.
- Calculer $P(A\cap B)$.
- Calculer $P(A\cap\overline{B})$ et $P(\overline{A}\cap\overline{B})$.
- Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
- Calculer $P_B(A)$ et $P_{\overline{B}}(A)$. Comparer $P_{\overline{B}}(A)$ et $1-P_B(A)$.
Utiliser la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Écrire $A$ comme réunion disjointe de $A\cap B$ et $A\cap\overline{B}$. Pour $\overline{A}\cap\overline{B}$, penser aux lois de De Morgan.
Pour l'indépendance, comparer $P(A\cap B)$ et $P(A)P(B)$.
Vérifier que $P(B)>0$ et $P(\overline{B})>0$ avant de conditionner.
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D'après la formule de la réunion, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, donc $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}8=0{,}3.$$
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L'événement $A$ est la réunion des événements incompatibles $A\cap B$ et $A\cap\overline{B}$. Par additivité, $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B})$, donc $$P(A\cap\overline{B})=0{,}6-0{,}3=0{,}3.$$ D'après les lois de De Morgan, $\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$, donc $$P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)=1-0{,}8=0{,}2.$$
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On a $P(A)P(B)=0{,}6\times0{,}5=0{,}3=P(A\cap B)$. Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
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Comme $P(B)=0{,}5>0$ : $$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6.$$ Comme $P(\overline{B})=1-0{,}5=0{,}5>0$ : $$P_{\overline{B}}(A)=\frac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6.$$ On retrouve $P_B(A)=P_{\overline{B}}(A)=P(A)$, ce qui traduit l'indépendance de $A$ avec $B$, et avec $\overline{B}$ (passage au contraire).
En revanche $1-P_B(A)=0{,}4\neq0{,}6=P_{\overline{B}}(A)$. L'égalité $P_{\overline{B}}(A)=1-P_B(A)$ est fausse en général : $P_B$ est une probabilité en l'événement $A$, pas en l'événement conditionnant. La relation correcte est $P_B(\overline{A})=1-P_B(A)=0{,}4$.
$P(A\cap B)=0{,}3$ ; $P(A\cap\overline{B})=0{,}3$ ; $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}2$ ; $A$ et $B$ indépendants ; $P_B(A)=P_{\overline{B}}(A)=0{,}6$