Une usine fabrique des pièces sur trois machines $M_1$, $M_2$, $M_3$, qui assurent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ de la production. Les proportions de pièces défectueuses sont $1\,\%$ pour $M_1$, $2\,\%$ pour $M_2$ et $5\,\%$ pour $M_3$. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $M_i$ l'événement « la pièce provient de la machine $M_i$ » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».
- Calculer $P(D)$.
- La pièce prélevée est défectueuse. Calculer, pour chaque $i$, la probabilité qu'elle provienne de $M_i$.
- La pièce prélevée n'est pas défectueuse. Calculer la probabilité exacte qu'elle provienne de $M_3$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
Traduire les données : $P(M_i)$ et $P_{M_i}(D)$.
Identifier un système complet de probabilités non nulles pour appliquer la formule des probabilités totales.
Pour la question 3, calculer d'abord $P(\overline{D})$ et $P(M_3\cap\overline{D})$.
Données : $P(M_1)=0{,}5$, $P(M_2)=0{,}3$, $P(M_3)=0{,}2$ et $P_{M_1}(D)=0{,}01$, $P_{M_2}(D)=0{,}02$, $P_{M_3}(D)=0{,}05$.
-
Chaque pièce provient d'une et une seule machine : $(M_1,M_2,M_3)$ est un système complet d'événements de probabilités non nulles. D'après la formule des probabilités totales : $$P(D)=\sum_{i=1}^3P(M_i)P_{M_i}(D)=0{,}005+0{,}006+0{,}010=0{,}021.$$
-
Comme $P(D)>0$, la formule de Bayes donne $P_D(M_i)=\frac{P(M_i)P_{M_i}(D)}{P(D)}$ : $$P_D(M_1)=\frac{0{,}005}{0{,}021}=\frac{5}{21},\qquad P_D(M_2)=\frac{0{,}006}{0{,}021}=\frac{2}{7},\qquad P_D(M_3)=\frac{0{,}010}{0{,}021}=\frac{10}{21}.$$ Contrôle : $\frac{5}{21}+\frac{6}{21}+\frac{10}{21}=1$, ce qui est attendu car $P_D$ est une probabilité et $(M_1,M_2,M_3)$ un système complet. La machine $M_3$ ne produit que $20\,\%$ des pièces mais près de la moitié des pièces défectueuses.
-
$P(\overline{D})=1-0{,}021=0{,}979>0$. Par la formule des probabilités composées, $P(M_3\cap\overline{D})=P(M_3)P_{M_3}(\overline{D})=0{,}2\times(1-0{,}05)=0{,}19$. Donc $$P_{\overline{D}}(M_3)=\frac{0{,}19}{0{,}979}=\frac{190}{979}\approx0{,}194.$$ Savoir que la pièce est bonne ne modifie presque pas la probabilité qu'elle vienne de $M_3$ ($0{,}194$ contre $0{,}2$), car presque toutes les pièces sont bonnes.
$P(D)=0{,}021$ ; $P_D(M_1)=\frac{5}{21}$, $P_D(M_2)=\frac{2}{7}$, $P_D(M_3)=\frac{10}{21}$ ; $P_{\overline{D}}(M_3)=\frac{190}{979}\approx0{,}194$