On considère $\Omega=\{1,2,3,4,5\}$ et un réel $c$. Pour $k\in\Omega$, on pose $p_k=c\,k(6-k)$.
- Déterminer $c$ pour que $(p_k)_{k\in\Omega}$ soit une distribution de probabilités. On note $P$ la probabilité associée.
- Calculer la probabilité de l'événement $D$ : « l'issue est paire », puis celle de l'événement $A$ : « l'issue est supérieure ou égale à $3$ ».
- Calculer $P_A(D)$. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ?
Une distribution est une famille de réels positifs de somme $1$.
Calculer les cinq valeurs $k(6-k)$ pour $k=1,\dots,5$.
$P(E)$ est la somme des $p_k$ pour $k\in E$.
Déterminer l'événement $A\cap D$ avant de conditionner.
- Les valeurs de $k(6-k)$ sont, pour $k=1,2,3,4,5$ : $5,\ 8,\ 9,\ 8,\ 5$. Leur somme vaut $35$.
Pour que les $p_k$ soient positifs, il faut $c\geqslant0$, et la condition $\sum_{k=1}^5p_k=1$ s'écrit $35c=1$, soit $c=\frac{1}{35}$. Réciproquement, avec $c=\frac{1}{35}$, les $p_k=\frac{k(6-k)}{35}$ sont positifs et de somme $1$ : c'est une distribution de probabilités. D'après le théorème du cours, il existe une unique probabilité $P$ sur $\Omega$ telle que $P(\{k\})=p_k$, et pour tout événement $E$, $P(E)=\sum_{k\in E}p_k$.
| $k$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_k$ | $\frac{5}{35}$ | $\frac{8}{35}$ | $\frac{9}{35}$ | $\frac{8}{35}$ | $\frac{5}{35}$ |
- $D=\{2,4\}$, donc $P(D)=\frac{8+8}{35}=\frac{16}{35}$.
$A=\{3,4,5\}$, donc $P(A)=\frac{9+8+5}{35}=\frac{22}{35}$.
- $A\cap D=\{4\}$, donc $P(A\cap D)=\frac{8}{35}$. Comme $P(A)>0$ : $$P_A(D)=\frac{P(A\cap D)}{P(A)}=\frac{8/35}{22/35}=\frac{8}{22}=\frac{4}{11}.$$ Or $P(D)=\frac{16}{35}$ et $\frac{4}{11}\neq\frac{16}{35}$ (car $4\times35=140\neq176=16\times11$). Comme $P(A)>0$, la caractérisation par le conditionnement montre que $A$ et $D$ ne sont pas indépendants.
$c=\frac{1}{35}$ ; $P(D)=\frac{16}{35}$ ; $P(A)=\frac{22}{35}$ ; $P_A(D)=\frac{4}{11}$ ; non indépendants