Caractérisation par le conditionnement : énoncé (MPSI)
Caractérisation par le conditionnement
Si $P(B)>0$, alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_B(A)=P(A)$.
En mots : savoir que $B$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $A$.
En effet, $P_B(A)=P(A)$ équivaut à $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A)$, c'est-à-dire à $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Incompatibles n'est pas indépendants
Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A\cap B)=0$. Ils ne sont indépendants que si $P(A)P(B)=0$, c'est-à-dire si l'un d'eux est de probabilité nulle.
Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont donc dépendants : savoir que $B$ est réalisé garantit que $A$ ne l'est pas.
L'incompatibilité est une propriété des ensembles ; l'indépendance dépend de la probabilité $P$ choisie.
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Probabilités sur un univers fini : Caractérisation par le conditionnement