Passage aux contraires : énoncé (MPSI)
Passage aux contraires
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $B$ aussi, ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$.
Démonstration : Passage aux contraires
Preuve
$A$ est la réunion disjointe de $A\cap B$ et $A\cap\overline{B}$, donc $$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\big(1-P(B)\big)=P(A)P(\overline{B}).$$ Ainsi $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. Les rôles de $A$ et $B$ étant symétriques, $\overline{A}$ et $B$ le sont. En appliquant le résultat au couple indépendant $(\overline{A},B)$, on obtient que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
Une indépendance non évidente
On lance deux dés équilibrés : $\Omega=\{1,\dots,6\}^2$ avec la probabilité uniforme. Soit $A$ : « le premier dé donne un nombre pair » et $S$ : « la somme vaut $7$ ».
$P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$ et $P(S)=\frac{1}{6}$. L'événement $A\cap S$ est $\{(2,5),(4,3),(6,1)\}$, donc $P(A\cap S)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}$.
$A$ et $S$ sont indépendants. En revanche, avec « la somme vaut $6$ », de probabilité $\frac{5}{36}$, l'intersection avec $A$ est $\{(2,4),(4,2)\}$, de probabilité $\frac{2}{36}\neq\frac{1}{2}\times\frac{5}{36}$ : il n'y a pas indépendance. L'indépendance se vérifie par le calcul.
S’entraîner
- Tirage simultané dans une urne
- Fiabilité d'un montage série-parallèle
- Indépendance mutuelle et indicatrice d'Euler (type Mines-Ponts)