Indépendance mutuelle : définition (MPSI)
Indépendance mutuelle
Des événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants (ou simplement indépendants) si pour toute partie $J$ non vide de $\{1,\dots,n\}$ : $$P\left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\prod_{j\in J}P(A_j).$$ Ils sont deux à deux indépendants si $A_i$ et $A_j$ sont indépendants pour tous $i\neq j$.
L'indépendance mutuelle entraîne l'indépendance deux à deux (prendre $J=\{i,j\}$).
Deux à deux ne suffit pas
On lance deux pièces équilibrées : $\Omega=\{P,F\}^2$ avec la probabilité uniforme. Soit $A$ : « la première pièce donne pile », $B$ : « la seconde donne pile », $C$ : « les deux pièces donnent le même résultat ».
- $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$.
- $A\cap B=A\cap C=B\cap C=\{(P,P)\}$, de probabilité $\frac{1}{4}$ : les trois événements sont deux à deux indépendants.
- Mais $A\cap B\cap C=\{(P,P)\}$ a pour probabilité $\frac{1}{4}\neq\frac{1}{8}=P(A)P(B)P(C)$.
Les événements $A$, $B$, $C$ ne sont donc pas mutuellement indépendants. De même, la seule égalité $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$ ne suffit pas non plus.
S’entraîner
- Réunion, intersection et indépendance à partir de trois données
- Deux dés : ne pas inverser le conditionnement
- Indépendance et divisibilité
- Fiabilité d'un montage série-parallèle
- Une urne qui renforce la couleur tirée