Indépendance mutuelle et contraires : énoncé (MPSI)

Il suffit de montrer qu'en remplaçant un seul événement $A_k$ par $\overline{A_k}$, on conserve l'indépendance mutuelle : on effectue ensuite les remplacements un par un.

Soit $J\subset\{1,\dots,n\}$ non vide. Si $k\notin J$, l'égalité à vérifier ne fait pas intervenir $A_k$ et elle est vraie par hypothèse. Si $k\in J$, on pose $C=\bigcap_{j\in J\setminus\{k\}}A_j$ (avec $C=\Omega$ si $J=\{k\}$). Par hypothèse, $P(C)=\prod_{j\in J\setminus\{k\}}P(A_j)$ et $P(A_k\cap C)=P(A_k)P(C)$. Comme $C$ est la réunion disjointe de $A_k\cap C$ et $\overline{A_k}\cap C$ : $$P(\overline{A_k}\cap C)=P(C)-P(A_k)P(C)=P(\overline{A_k})\prod_{j\in J\setminus\{k\}}P(A_j).$$ C'est l'égalité voulue.