Comparaison et espace des fonctions intégrables : énoncé (MP)
Comparaison et espace des fonctions intégrables
- Si $|f|\le g$ au voisinage des bornes, ou si $f=O(g)$, avec $g$ intégrable, alors $f$ est intégrable.
- Les fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$ forment un espace vectoriel, sur lequel $f\mapsto\int_If$ est linéaire.
- Si $f$ est continue, intégrable et $\int_I|f|=0$, alors $f=0$.
Une intégrale semi-convergente
$\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge : par parties sur $[1,x]$, $$\int_1^x\frac{\sin t}t\,\mathrm dt=\left[-\frac{\cos t}t\right]_1^x-\int_1^x\frac{\cos t}{t^2}\,\mathrm dt,$$ le crochet a une limite finie et $\frac{\cos t}{t^2}$ est intégrable (dominée par $\frac1{t^2}$). Mais $t\mapsto\frac{\sin t}t$ n'est pas intégrable : $\frac{|\sin t|}t\ge\frac{\sin^2t}t=\frac1{2t}-\frac{\cos2t}{2t}$, et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos2t}{2t}$ converge (même méthode) alors que $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{2t}$ diverge. Comme $\frac{\sin t}t\to1$ en $0$, on en déduit que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,\mathrm dt$ converge ; sa valeur est $\frac\pi2$ (exercice de concours).
Intégrable n'implique pas « tend vers $0$ »
Contrairement au terme général d'une série convergente, une fonction intégrable sur $[0,+\infty[$ ne tend pas forcément vers $0$. Exemple : la fonction continue, nulle sauf sur des « pics » triangulaires de hauteur $n$ et de base $\frac2{n^3}$ centrés en chaque entier $n\ge2$. L'aire du pic $n$ vaut $\frac1{n^2}$, la fonction est intégrable, mais elle prend la valeur $n$ en $n$. En revanche, si $f$ est intégrable et a une limite en $+\infty$, cette limite est nulle.
S’entraîner
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Comparaison et espace des fonctions intégrables