Exercice corrigé : Intégrable et de dérivée intégrable

1. Pour $n\ge2$, notons $T_n$ la fonction « pic » nulle hors de $\left[n-\frac1{n^3},n+\frac1{n^3}\right]$, affine sur chaque moitié, et valant $n$ en $n$. Les supports sont disjoints, et $f=\sum_{n\ge2}T_n$ est continue et positive. Pour $x>0$, $\int_0^xf\le\sum_{n\ge2}\int T_n=\sum_{n\ge2}\frac12\cdot\frac2{n^3}\cdot n=\sum_{n\ge2}\frac1{n^2}$ : $f$ est intégrable. Mais $f(n)=n\to+\infty$.

2. $f'$ est intégrable, donc $\int_0^xf'$ converge quand $x\to+\infty$ : $f(x)=f(0)+\int_0^xf'$ a une limite finie $\ell$. Si $\ell\ne0$, il existe $A$ tel que $|f(t)|\ge\frac{|\ell|}2$ pour $t\ge A$, et $\int_A^x|f|\ge\frac{|\ell|}2(x-A)\to+\infty$ : contradiction avec l'intégrabilité de $f$. Donc $\ell=0$.

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