Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Intégrable implique convergente
Intégrable implique convergente : énoncé (MP)
Théorème
Intégrable implique convergente
Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_If$ converge et $\left|\int_If\right|\le\int_I|f|$.
Démonstration : Intégrable implique convergente
Démonstration
Cas réel. Posons $f^+=\max(f,0)$ et $f^-=\max(-f,0)$. Ce sont des fonctions positives, continues par morceaux, avec $f^\pm\le|f|$ : leurs intégrales convergent par comparaison. Comme $f=f^+-f^-$, $\int_If$ converge par linéarité. L'inégalité s'obtient sur un segment, puis en passant à la limite.
Cas complexe. $|\mathrm{Re}\,f|\le|f|$ et $|\mathrm{Im}\,f|\le|f|$ : on applique le cas réel aux parties réelle et imaginaire.
S’entraîner
- L'intégrale de $\frac{\sin t}t$
- Intégrable et de dérivée intégrable
- Problème : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss
- L'intégrale de Fresnel $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Intégrable implique convergente