Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Fonctions positives
Fonctions positives : énoncé (MP)
Théorème
Fonctions positives
Si $f$ est continue par morceaux et positive sur $[a,b[$, l'intégrale $\int_a^bf$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto\int_a^xf$ est majorée sur $[a,b[$. Sinon, elle tend vers $+\infty$.
Démonstration : Fonctions positives
Démonstration
$F:x\mapsto\int_a^xf$ est croissante sur $[a,b[$ puisque $f\ge0$ (relation de Chasles et positivité). Par le théorème de la limite monotone, $F$ a une limite en $b$, finie si et seulement si $F$ est majorée, égale à $+\infty$ sinon.
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Intégration sur un intervalle quelconque : Fonctions positives