Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Théorèmes de comparaison
Théorèmes de comparaison : énoncé (MP)
Théorème
Théorèmes de comparaison
Soit $f,g$ continues par morceaux et positives sur $[a,b[$.
- Si $f\le g$ au voisinage de $b$, ou si $f(t)\underset{t\to b}=O(g(t))$ : $\int_a^bg$ converge $\Rightarrow\int_a^bf$ converge.
- Si $f(t)\underset{t\to b}\sim g(t)$ : $\int_a^bf$ et $\int_a^bg$ ont la même nature.
Exemple
Trois intégrales qui convergent
- $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm dt$ : fonction continue sur $[0,+\infty[$ et $t^2e^{-t^2}\to0$, donc $e^{-t^2}=o\left(\frac1{t^2}\right)$ en $+\infty$.
- $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2}\,\mathrm dt$ : $t^{3/2}\cdot\frac{\ln t}{t^2}=\frac{\ln t}{\sqrt t}\to0$, donc $\frac{\ln t}{t^2}=o\left(\frac1{t^{3/2}}\right)$.
- $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{\sin t}}$ : $\frac1{\sqrt{\sin t}}\sim\frac1{\sqrt t}$ en $0$, positive, et $\frac12<1$.
S’entraîner
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Théorèmes de comparaison