Étudier la convergence et, quand c'est demandé, calculer.
- $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{1+t^3}$.
- $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t(1-t)}}$ ; calculer sa valeur avec $t=\sin^2\theta$.
- $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}t\,\mathrm dt$.
- $\int_0^1\frac{\ln t}{\sqrt t}\,\mathrm dt$ ; calculer sa valeur.
Repérer les bornes à problème : pour la question 2, il y en a deux.
Pour 4, intégrer par parties sur $[x,1]$ avec $u'=\frac1{\sqrt t}$.
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La fonction est continue et positive sur $[0,+\infty[$ ; seul $+\infty$ pose problème, et $\frac1{1+t^3}\sim\frac1{t^3}$ : convergence (Riemann, $3>1$).
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Continue et positive sur $]0,1[$, avec deux problèmes. En $0$, $\frac1{\sqrt{t(1-t)}}\sim\frac1{\sqrt t}$ ; en $1$, $\sim\frac1{\sqrt{1-t}}$ : exposants $\frac12<1$, convergence aux deux bornes. Avec $t=\sin^2\theta$, $\theta\in\left]0,\frac\pi2\right[$ (bijection $\mathcal C^1$ croissante), $\mathrm dt=2\sin\theta\cos\theta\,\mathrm d\theta$ et $\sqrt{t(1-t)}=\sin\theta\cos\theta$ : $$\int_0^1\frac{\mathrm dt}{\sqrt{t(1-t)}}=\int_0^{\pi/2}2\,\mathrm d\theta=\pi.$$
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Pour $t\ge e$, $\frac{\ln t}t\ge\frac1t$ : divergence par comparaison. (Ou directement : $\int_1^x\frac{\ln t}t=\frac{(\ln x)^2}2\to+\infty$.)
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En $0$, $t^{3/4}\cdot\frac{|\ln t|}{\sqrt t}=t^{1/4}|\ln t|\to0$, donc $\frac{\ln t}{\sqrt t}=o\left(t^{-3/4}\right)$, de signe constant : convergence. Par parties sur $[x,1]$ : $$\int_x^1\frac{\ln t}{\sqrt t}\,\mathrm dt=\left[2\sqrt t\ln t\right]_x^1-\int_x^1\frac{2}{\sqrt t}\,\mathrm dt=-2\sqrt x\ln x-4+4\sqrt x\xrightarrow[x\to0]{}-4.$$
- Converge. 2. Converge, vaut $\pi$. 3. Diverge. 4. Converge, vaut $-4$.