Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Étudier la convergence d'une intégrale
Étudier la convergence d'une intégrale : méthode (MP)
Méthode
Étudier la convergence d'une intégrale
- Repérer tous les points à problème : bornes infinies, bornes où $f$ n'est pas définie ou pas bornée. Couper l'intervalle en morceaux qui n'ont chacun qu'un seul problème.
- Pour chaque problème, si $f$ est de signe constant au voisinage : chercher un équivalent et comparer à une intégrale de Riemann, ou étudier $t^\alpha f(t)$.
- Si $f$ change de signe : étudier $|f|$ (intégrabilité), et sinon une intégration par parties (voir $\frac{\sin t}t$).
- Conclure : l'intégrale converge si et seulement si chaque morceau converge.
Exemple
Intégrales de Bertrand
Pour $\beta\in\mathbb R$, $\int_e^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t(\ln t)^\beta}$ converge si et seulement si $\beta>1$. En effet, le changement de variable $u=\ln t$ ramène à $\int_1^{\ln x}\frac{\mathrm du}{u^\beta}$. Plus généralement, $\int^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ : même énoncé que pour les séries.
S’entraîner
- Quatre intégrales à étudier
- Calculs par changement de variable
- Intégrales à paramètre de type Riemann
- L'intégrale de $\frac{\sin t}t$
- Intégrale de Frullani
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Étudier la convergence d'une intégrale