Théorèmes de comparaison : énoncé (Terminale spé)
Théorèmes de comparaison
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[b;+\infty[$.
- Si, pour tout $x\geq b$, $f(x)\geq g(x)$ et si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
- Si, pour tout $x\geq b$, $f(x)\leq g(x)$ et si $\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
Ces théorèmes s'adaptent en $-\infty$ et en un réel $a$ (l'inégalité doit alors être vraie au voisinage du point étudié).
Démonstration : Théorèmes de comparaison
Démonstration du premier point
Soit $A$ un réel. Comme $\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $g(x)$ pour $x$ assez grand : il existe un réel $c$ tel que, pour tout $x>c$, $g(x)>A$.
Pour tout $x>\max(b;c)$, on a à la fois $f(x)\geq g(x)$ et $g(x)>A$, donc $f(x)>A$.
Ainsi, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
Le second point se démontre de la même façon avec les intervalles $]-\infty;A[$.