Erreurs fréquentes : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)
Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.
Utiliser un équivalent pour conclure sur une série dont le terme change de signe : « $u_n\sim\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ donc $\sum u_n$ converge ».
Le théorème des équivalents exige un signe constant. Pour un terme alterné, on écrit un développement $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+v_n+\dots$ et on étudie chaque morceau ; $\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$ donne une série divergente.
Conclure par d'Alembert parce que $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ pour tout $n$, ou appliquer la règle quand le rapport tend vers $1$.
La règle porte sur la limite $\ell$ du rapport : $\ell<1$ converge, $\ell>1$ diverge, $\ell=1$ ne dit rien. Si le rapport tend vers $1$, changer de méthode.
Appliquer le critère des séries alternées sans vérifier la décroissance de $(a_n)$.
Écrire explicitement : « $(a_n)$ est positive, décroissante, de limite nulle ». Sans décroissance, le critère tombe : $\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n$ en est un contre-exemple.
Sommer des équivalents dans le mauvais sens : comparer des sommes partielles quand la série converge, ou des restes quand elle diverge.
Série convergente : on compare les restes. Série divergente : on compare les sommes partielles. Et la série de référence $\sum v_n$ doit être à termes positifs.
Effectuer un produit de Cauchy ou intervertir deux sommes sans justification.
Produit de Cauchy : vérifier la convergence absolue des deux séries. Interversion : termes positifs, ou $\sum_p\sum_q|u_{p,q}|<+\infty$. Citer le théorème utilisé (Fubini pour les séries doubles).
Écrire $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ avant d'avoir montré la convergence.
La somme n'a de sens qu'une fois la convergence établie. Travailler sur les sommes partielles $\sum_{k=0}^n$, conclure, puis passer à la limite.