Préambule : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)
Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.
Préambule : les séries de première année
Tout le chapitre s'appuie sur ces résultats de MPSI. Relis-les si le test de niveau t'a classé « à consolider ». Si un bloc était « à reprendre », mieux vaut refaire le chapitre de première année correspondant avant d'aller plus loin.
Série, somme, reste
La série $\sum u_n$ converge si la suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$ converge. Sa limite $S=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ est la somme, et le reste $R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k$ tend vers $0$.
Divergence grossière : si $u_n\not\to0$, la série diverge. La réciproque est fausse : $\sum\frac1n$ diverge.
Séries de référence
- Géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac1{1-q}$.
- Riemann : $\sum_{n\ge1}\frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
- Télescopique : $\sum(a_{n+1}-a_n)$ converge si et seulement si $(a_n)$ converge, et sa somme vaut $\lim a_n-a_0$.
- Exponentielle : pour tout $z\in\mathbb C$, $\sum\frac{z^n}{n!}$ converge et vaut $e^z$.
Séries à termes positifs : comparaison
Soit $u_n\ge0$ et $v_n\ge0$ à partir d'un certain rang.
- Si $u_n\le v_n$ ou $u_n=O(v_n)$ : $\sum v_n$ converge $\Rightarrow\sum u_n$ converge (et $\sum u_n$ diverge $\Rightarrow\sum v_n$ diverge).
- Si $u_n\sim v_n$ : les deux séries ont la même nature.
La positivité est indispensable : c'est elle qui fait que les sommes partielles sont croissantes.
Convergence absolue
Si $\sum|u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge et $\left|\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\right|\le\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|$.
En pratique, pour une série de signe quelconque, on commence toujours par regarder $|u_n|$.
Comparaison série-intégrale
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Trouver la nature d'une série à termes positifs
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Équivalents et signe
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La constante d'Euler
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