Exercices corrigés : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)

1. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}\to\frac12<1$ : la série converge.

2. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}3\to+\infty$ : la série diverge grossièrement.

3. $\frac{u_{n+1}}{u_n}=a\left(\frac n{n+1}\right)^n=a\left(1+\frac1n\right)^{-n}\to\frac ae$.

• Si $a<e$ : convergence. Si $a>e$ : divergence grossière.
• Si $a=e$ : la règle ne conclut pas. Mais $n\ln\left(1+\frac1n\right)<1$ (car $\ln(1+x)<x$ pour $x>0$), donc $\left(1+\frac1n\right)^n<e$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$. La suite $(u_n)$ est croissante et positive, elle ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

1. $\left(\frac1{\sqrt n}\right)$ est décroissante de limite nulle : la série converge par le critère des séries alternées. $\sum\frac1{\sqrt n}$ diverge (Riemann, $\alpha=\frac12\le1$) : pas de convergence absolue.

2. $\ln$ est croissante et tend vers $+\infty$, donc $\left(\frac1{\ln n}\right)_{n\ge2}$ décroît vers $0$ : convergence. Pour $n\ge2$, $\ln n\le n$, donc $\frac1{\ln n}\ge\frac1n$ et $\sum\frac1{\ln n}$ diverge par comparaison : pas de convergence absolue.

3. Le critère s'applique avec $a_n=\frac1{n^2}$ et donne $|S-S_n|\le\frac1{(n+1)^2}$. Il suffit que $(n+1)^2\ge1000$, soit $n+1\ge32$ ($31^2=961$, $32^2=1024$) : $31$ termes suffisent.

1. Pour $n\ge2$ et $\alpha>0$, $n^\alpha>1$, donc $n^\alpha+(-1)^n>0$ : $u_n$ est défini. Puis $$v_n=(-1)^n\,\frac{n^\alpha-\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}{n^\alpha\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}=-\frac{1}{n^\alpha\left(n^\alpha+(-1)^n\right)}.$$ Donc $v_n<0$ et $v_n\sim-\frac1{n^{2\alpha}}$.

2. $\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge par le critère des séries alternées ($\alpha>0$). $\sum v_n$ est de signe constant et $-v_n\sim\frac1{n^{2\alpha}}$ : elle converge si et seulement si $2\alpha>1$. Comme $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+v_n$ :

• si $\alpha>\frac12$, $\sum u_n$ converge (somme de deux séries convergentes) ;
• si $\alpha\le\frac12$, $\sum u_n$ diverge (convergente plus divergente).

3. $|u_n|=\frac1{n^\alpha+(-1)^n}\sim\frac1{n^\alpha}$ : convergence absolue si et seulement si $\alpha>1$.

À retenir : pour $\alpha\in\left]0,\frac12\right]$, $u_n\sim\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ et pourtant les deux séries n'ont pas la même nature.

1. $\frac1{(k-1)^2}-\frac1{k^2}=\frac{2k-1}{k^2(k-1)^2}\sim\frac2{k^3}$. Les termes sont positifs et la série converge : par sommation des équivalents (cas convergent) et télescopage, $$R_n\sim\frac12\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac1{(k-1)^2}-\frac1{k^2}\right)=\frac1{2n^2}.$$

2. $\rho_n=\frac1{(n+1)!}\left(1+\frac1{n+2}+\frac1{(n+2)(n+3)}+\cdots\right)$. Chaque produit $(n+2)(n+3)\cdots(n+j)$ est au moins $(n+2)^{j-1}$, donc $$\frac1{(n+1)!}\le\rho_n\le\frac1{(n+1)!}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac1{(n+2)^j}=\frac1{(n+1)!}\cdot\frac{n+2}{n+1}.$$ Comme $\frac{n+2}{n+1}\to1$, $\rho_n\sim\frac1{(n+1)!}$.

3. Le reste de $\sum\frac1{k^3}$ décroît comme une puissance de $n$, celui de $\sum\frac1{k!}$ plus vite que toute exponentielle : $10$ termes (de $k=0$ à $9$) donnent $e$ à $3\cdot10^{-7}$ près environ, alors qu'il en faut de l'ordre de $700$ pour approcher $\sum\frac1{k^3}$ à $10^{-6}$ près.

1. Les termes sont positifs : on peut sommer par paquets dans $[0,+\infty]$, avec $I_n=\{(p,q)\in(\mathbb N^*)^2\ :\ p+q=n\}$ pour $n\ge2$. $I_n$ contient $n-1$ couples ($p=1,\dots,n-1$), donc $$\sum_{(p,q)}\frac1{(p+q)^\alpha}=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n-1}{n^\alpha}.$$ Or $\frac{n-1}{n^\alpha}\sim\frac1{n^{\alpha-1}}$ : la série converge si et seulement si $\alpha-1>1$, soit $\alpha>2$.

2. Pour $\alpha=3$ : $\sum_{n\ge2}\frac{n-1}{n^3}=\sum_{n\ge2}\frac1{n^2}-\sum_{n\ge2}\frac1{n^3}=(\zeta(2)-1)-(\zeta(3)-1)=\zeta(2)-\zeta(3)$.

1. Pour $n\ge2$, $u_n-u_{n-1}=\frac1n-\ln n+\ln(n-1)=\frac1n+\ln\left(1-\frac1n\right)=-\frac1{2n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)$. Ce terme est équivalent à $-\frac1{2n^2}$, donc de signe constant et terme d'une série convergente. La série télescopique converge, donc $(u_n)$ converge : notons $\gamma$ sa limite.

2. Par sommation des équivalents (cas convergent, appliquée à $-(u_k-u_{k-1})$, positif à partir d'un rang) : $$\gamma-u_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(u_k-u_{k-1})\sim-\frac12\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^2}\sim-\frac1{2n},$$ en utilisant $\sum_{k>n}\frac1{k^2}\sim\frac1n$ (cours). Donc $u_n=\gamma+\frac1{2n}+o\left(\frac1n\right)$.

3. $v_{n+1}-v_n=\ln(n+1)+1-\left(n+\frac32\right)\ln(n+1)+\left(n+\frac12\right)\ln n=1-\left(n+\frac12\right)\ln\left(1+\frac1n\right)$. Puis, avec $x=\frac1n$ : $$\left(n+\frac12\right)\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)=1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}+\frac1{2n}-\frac1{4n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)=1+\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right).$$ Donc $v_{n+1}-v_n=-\frac1{12n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)$.

4. $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge absolument (terme en $O\left(\frac1{n^2}\right)$), donc $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$. Par continuité de l'exponentielle, $\frac{n!\,e^n}{n^{n+1/2}}=e^{v_n}\to e^\ell=:C>0$, c'est-à-dire $n!\sim C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n$.

5. Par la question 4, $(2n)!\sim C\sqrt{2n}\left(\frac{2n}e\right)^{2n}$ et $(n!)^2\sim C^2n\left(\frac ne\right)^{2n}$. Donc $$\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\sim\frac{C\sqrt2\sqrt n\,4^nn^{2n}e^{-2n}}{4^nC^2n\,n^{2n}e^{-2n}}=\frac{\sqrt2}{C\sqrt n}.$$ D'où $W_{2n}\sim\frac{\pi\sqrt2}{2C\sqrt n}$. Mais aussi $W_{2n}\sim\sqrt{\frac\pi{4n}}=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt n}$. Par unicité de la limite de $\sqrt n\,W_{2n}$ : $\frac{\pi\sqrt2}{2C}=\frac{\sqrt\pi}2$, soit $C=\sqrt{2\pi}$.

6. Le calcul de la question 5 avec $C=\sqrt{2\pi}$ donne $\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\sim\frac{\sqrt2}{\sqrt{2\pi}\sqrt n}=\frac1{\sqrt{\pi n}}$, c'est-à-dire $\binom{2n}n\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.

7. Les termes sont positifs. $\frac{\binom{2n}n}{4^n}\sim\frac1{\sqrt\pi\,n^{1/2}}$ : divergence (Riemann, $\frac12\le1$). $\frac{\binom{2n}n}{n4^n}\sim\frac1{\sqrt\pi\,n^{3/2}}$ : convergence.

La série est à termes positifs.

1. Soit $\delta=\frac{1+\alpha}2\in]1,\alpha[$. $n^\delta u_n=\frac1{n^{\alpha-\delta}(\ln n)^\beta}\to0$ par croissances comparées ($\alpha-\delta>0$), quel que soit $\beta$. Donc $u_n=o\left(\frac1{n^\delta}\right)$ et la série converge.

2. $nu_n=\frac{n^{1-\alpha}}{(\ln n)^\beta}\to+\infty$ par croissances comparées ($1-\alpha>0$). Donc $u_n\ge\frac1n$ à partir d'un rang, et la série diverge.

3. Si $\beta\le0$, $u_n\ge\frac1n$ pour $n\ge3$ : divergence. Si $\beta>0$, $f:t\mapsto\frac1{t(\ln t)^\beta}$ est continue, positive, décroissante sur $[2,+\infty[$, et le changement de variable $x=\ln t$ donne $$\int_2^N\frac{\mathrm dt}{t(\ln t)^\beta}=\int_{\ln2}^{\ln N}\frac{\mathrm dx}{x^\beta}.$$ Par comparaison série-intégrale, $\sum f(n)$ converge si et seulement si cette intégrale a une limite finie quand $N\to+\infty$, c'est-à-dire si et seulement si $\beta>1$ (intégrale de Riemann en $+\infty$).

Rédaction attendue : annoncer la positivité, le théorème de comparaison utilisé et les hypothèses (continuité, positivité, décroissance) de la comparaison série-intégrale.

1. Pour $x\in\left]0,\frac\pi2\right]$, $0<\sin x<x$ et $\sin x\in]0,1]\subset\left]0,\frac\pi2\right]$. Par récurrence, $u_n\in\left]0,\frac\pi2\right]$ et $(u_n)$ est strictement décroissante. Minorée par $0$, elle converge vers $\ell\in\left[0,\frac\pi2\right]$ ; par continuité de $\sin$, $\sin\ell=\ell$, donc $\ell=0$.

2. $\sin x=x\left(1-\frac{x^2}6+O(x^4)\right)$, donc $\frac1{\sin^2x}=\frac1{x^2}\left(1+\frac{x^2}3+O(x^4)\right)=\frac1{x^2}+\frac13+O(x^2)$. Avec $x=u_n\to0$ : $\frac1{u_{n+1}^2}-\frac1{u_n^2}=\frac13+O(u_n^2)\to\frac13$.

3. Posons $w_k=\frac1{u_{k+1}^2}-\frac1{u_k^2}\sim\frac13$. La série $\sum\frac13$ est positive et divergente : par sommation des équivalents (cas divergent), $$\frac1{u_n^2}-\frac1{u_0^2}=\sum_{k=0}^{n-1}w_k\sim\frac n3.$$ Donc $\frac1{u_n^2}\sim\frac n3$, et $u_n\sim\sqrt{\frac3n}$ (les termes sont positifs, on peut passer à la racine).

4. Termes positifs : $u_n\sim\frac{\sqrt3}{n^{1/2}}$, divergence ; $u_n^2\sim\frac3n$, divergence ; $u_n^3\sim\frac{3\sqrt3}{n^{3/2}}$, convergence.