Fiche résumé : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)

Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.

D'Alembert : $u_n\ne0$, $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\to\ell$. $\ell<1$ : convergence absolue ; $\ell>1$ : divergence grossière ; $\ell=1$ : rien.
Séries alternées : $(a_n)$ décroissante, de limite nulle $\Rightarrow\sum(-1)^na_n$ converge ; le reste $R_n$ a le signe de $(-1)^{n+1}$ et $|R_n|\le a_{n+1}$.
Presque alternée : développer $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+v_n+O(w_n)$ et étudier chaque morceau.
Sommation des relations de comparaison ($v_n\ge0$) :
- $\sum v_n$ converge : $u_n=o(v_n)$, $O(v_n)$, $\sim v_n$ $\Rightarrow$ même relation entre les restes ;
- $\sum v_n$ diverge : même relation entre les sommes partielles.
Restes de Riemann : $\sum_{k>n}\frac1{k^\alpha}\sim\frac1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$ ($\alpha>1$).
Harmonique : $H_n=\ln n+\gamma+\frac1{2n}+o\left(\frac1n\right)$.
Stirling : $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n$ ; $\binom{2n}n\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.
Bertrand : $\sum\frac1{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge $\iff\alpha>1$ ou ($\alpha=1$ et $\beta>1$).
Produit de Cauchy : $w_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$. Deux séries absolument convergentes $\Rightarrow\sum w_n$ converge absolument et vaut le produit des sommes.
Familles sommables : $\sum_{i\in I}|u_i|<+\infty$. Termes positifs : tout est permis dans $[0,+\infty]$ (paquets, interversion). Termes complexes : vérifier la sommabilité, puis paquets et Fubini.