Test de niveau : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)
Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.
13 questions, environ 15 minutes, sans calculatrice ni cours. Réponds honnêtement : le test sert à savoir par où commencer. Le résultat est donné bloc par bloc, avec le chapitre de première année à reprendre si un bloc coince.
Séries numériques de première année
On suppose que $u_n\to0$. Que peut-on dire de la série $\sum u_n$ ?
$\frac1n\to0$ et $\sum\frac1n$ diverge, alors que $\frac1{n^2}\to0$ et $\sum\frac1{n^2}$ converge : la condition $u_n\to0$ est nécessaire, pas suffisante. La décroissance n'aide pas : $\left(\frac1n\right)$ est décroissante.
Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge-t-elle ?
C'est le critère de Riemann : convergence si et seulement si $\alpha>1$. Pour $\alpha=1$, c'est la série harmonique, qui diverge.
Que vaut $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ ?
$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$, donc $\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac1{N+1}\to1$ (télescopage).
Que dire de la série $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^2}$ ?
$\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\frac1{n^2}$ et $\sum\frac1{n^2}$ converge : la série converge absolument, donc converge. Inutile de passer par les séries alternées.
Si ce bloc te pose problème : revoir Séries numériques
Équivalents et développements limités
Un équivalent de $\ln\left(1+\frac1n\right)-\frac1n$ quand $n\to+\infty$ est :
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+o(x^2)$ avec $x=\frac1n$ donne $\ln\left(1+\frac1n\right)-\frac1n=-\frac1{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)$. « Équivalent à $0$ » n'a pas de sens pour une suite non nulle.
Un équivalent de $1-\cos\frac1n$ est :
$\cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)$, donc $1-\cos\frac1n\sim\frac1{2n^2}$, quantité positive.
On a $u_n\sim v_n$ avec $v_n>0$. Quelle conclusion est correcte ?
$\frac{u_n}{v_n}\to1$ donc $\frac{u_n}{v_n}>0$ à partir d'un rang : $u_n$ a le signe de $v_n$. Contre-exemples pour le reste : $n^2+n\sim n^2$ mais la différence tend vers $+\infty$ et $e^{n^2+n}/e^{n^2}=e^n\to+\infty$ ; avec $w_n=-n^2$, on obtiendrait $n\sim0$.
Le développement limité à l'ordre 2 en $0$ de $\sqrt{1+x}$ est :
$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+o(x^2)$ avec $a=\frac12$ : $\frac{a(a-1)}2=-\frac18$. La dernière proposition est le développement de $(1+x)^{-1/2}$.
Si ce bloc te pose problème : revoir Analyse asymptotique
Intégration et comparaison série-intégrale
Soit $f$ continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$. Pour $k\ge2$, quel encadrement est juste ?
Sur $[k,k+1]$, $f(t)\le f(k)$ donc $\int_k^{k+1}f\le f(k)$ ; sur $[k-1,k]$, $f(t)\ge f(k)$ donc $f(k)\le\int_{k-1}^kf$. Faire un dessin des rectangles évite de se tromper de sens.
Une primitive de $t\mapsto\frac{1}{t\ln t}$ sur $]1,+\infty[$ est :
C'est la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=\ln t$, $u'=\frac1t$. Cette primitive sert pour les séries de Bertrand $\sum\frac{1}{n\ln n}$.
Un équivalent de $\sum_{k=1}^n\frac1k$ quand $n\to+\infty$ est :
Par comparaison série-intégrale, $\ln(n+1)\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le1+\ln n$, d'où $H_n\sim\ln n$. La constante d'Euler $\gamma$ apparaît dans le terme suivant : $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$.
Si ce bloc te pose problème : revoir Intégration sur un segment
Suites réelles
Une suite réelle croissante et majorée :
Théorème de la limite monotone : elle converge, vers la borne supérieure de ses termes, qui peut être strictement plus petite que le majorant qu'on a trouvé.
Soit $(a_n)$ croissante, $(b_n)$ décroissante, avec $b_n-a_n\to0$. Alors :
Ce sont des suites adjacentes. Ce théorème est exactement l'argument du critère des séries alternées : les sommes partielles paires et impaires sont adjacentes.
Si ce bloc te pose problème : revoir Suites réelles : convergence
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