QCM : Séries numériques et familles sommables (Prépa, 2e année)
Le chapitre de deuxième année qui complète les séries de MPSI : règle de d'Alembert, séries alternées, sommation des relations de comparaison, formule de Stirling, produit de Cauchy et familles sommables. C'est la base des séries de fonctions et des séries entières, et un thème présent chaque année aux écrits comme aux oraux.
La règle de d'Alembert appliquée à $\sum\frac{2^n}{n!}$ donne :
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac2{n+1}\to0<1$ : la série converge (sa somme est $e^2$).
On sait que $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ pour tout $n$, avec $u_n>0$. Alors :
$u_n=\frac1n$ vérifie l'hypothèse et sa série diverge ; $u_n=\frac1{n^2}$ aussi, et sa série converge. On ne sait même pas que $u_n\to0$ : $u_n=1+\frac1n$ convient aussi. Il faut une limite du rapport strictement inférieure à $1$.
La série $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^{1/3}}$ :
$\left(n^{-1/3}\right)$ décroît vers $0$ : le critère des séries alternées donne la convergence. $\sum\frac1{n^{1/3}}$ diverge (Riemann) : pas de convergence absolue.
Pour $S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $S_n$ ses sommes partielles, laquelle de ces affirmations est garantie par le cours ?
Le reste $R_{10}$ a le signe de son premier terme $\frac{(-1)^{11}}{23}<0$ et $|R_{10}|\le\frac1{23}$. La deuxième réponse se trompe de signe ; la troisième annonce une précision non garantie. (La somme vaut $\frac\pi4$.)
$\sum v_n$ est une série convergente à termes positifs et $u_n\sim v_n$. Que peut-on dire des restes ?
C'est la sommation des équivalents, cas convergent : les restes sont équivalents. Pour les sommes partielles, elles convergent vers des limites qui peuvent être différentes : elles ne sont pas forcément équivalentes.
Un équivalent de $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^4}$ est :
Pour $\alpha>1$, $\sum_{k>n}\frac1{k^\alpha}\sim\frac1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}$. Avec $\alpha=4$ : $\frac1{3n^3}$.
Le terme général du produit de Cauchy de $\sum\frac{x^n}{n!}$ et $\sum\frac{y^n}{n!}$ est :
$\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_k\binom nkx^ky^{n-k}=\frac{(x+y)^n}{n!}$ (formule du binôme).
Le produit de Cauchy de deux séries convergentes :
Le théorème du programme suppose les deux séries absolument convergentes. Sans hypothèse, il peut diverger (carré de $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$). La deuxième proposition est un théorème vrai (Mertens) mais hors programme ; la dernière est fausse : $\sum\frac{(-1)^n}{n+1}$ multipliée par $\sum\frac{1}{2^n}$ converge.
La famille $\left(\frac1{p^2q^2}\right)_{(p,q)\in(\mathbb N^*)^2}$ :
Termes positifs : $\sum_p\sum_q\frac1{p^2q^2}=\left(\sum_p\frac1{p^2}\right)\left(\sum_q\frac1{q^2}\right)=\left(\frac{\pi^2}6\right)^2=\frac{\pi^4}{36}$. $\frac{\pi^4}{90}$ est $\zeta(4)$.
Pour intervertir $\sum_p\sum_q u_{p,q}$ et $\sum_q\sum_p u_{p,q}$ avec des $u_{p,q}$ complexes, il suffit de vérifier :
C'est le théorème de Fubini : la sommabilité se vérifie sur les valeurs absolues. Le contre-exemple du cours ($1$ sur la diagonale, $-1$ juste au-dessus) montre que la convergence des sommes itérées ne suffit pas.