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Nombre d'étapes : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Nombre d'étapes
Après $n$ étapes, l'intervalle a pour longueur $\dfrac{b-a}{2^n}$.
Pour atteindre une précision $e$, il suffit que $\dfrac{b-a}{2^n}\leqslant e$, c'est-à-dire $2^n\geqslant\dfrac{b-a}{e}$.
Exemple : avec $b-a=1$ et $e=10^{-3}$, il faut $2^n\geqslant 1000$. Comme $2^9=512$ et $2^{10}=1024$, il faut 10 étapes.
Remarque
Autres méthodes
La dichotomie est simple et fonctionne toujours sous les hypothèses données, mais elle est lente : un chiffre décimal exact demande environ 3 à 4 étapes. D'autres méthodes, comme celle de Newton (qui utilise les tangentes) ou de la sécante, convergent beaucoup plus vite ; elles peuvent être rencontrées en exercice, guidées par l'énoncé.
S’entraîner
- Compter les solutions avec un tableau de variations
- Dichotomie pour approcher racine de 2
- Nombre de solutions selon un paramètre