Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$.
- Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
- Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations complet.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$. Vérifier que $x^3-6x^2+9x-4=(x-1)^2(x-4)$ et résoudre cette équation.
Factoriser $f'(x)=3x^2-12x+9$ par $3$, puis trouver ses racines.
Découper $\mathbb{R}$ en trois intervalles de stricte monotonie et appliquer le corollaire sur chacun.
Pour $k=2$, la valeur $2$ est atteinte en un extrémum : attention à ne pas compter deux fois la même solution.
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Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac{9}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$. Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
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$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
$f(1)=1-6+9-2=2$ et $f(3)=27-54+27-2=-2$.
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.
- Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est continue, strictement croissante, de $-\infty$ à $2$, et $0\in\,]-\infty\,;2]$ : une unique solution.
- Sur $[1\,;3]$ : $f$ est continue, strictement décroissante, de $2$ à $-2$, et $0\in[-2\,;2]$ : une unique solution.
- Sur $[3\,;+\infty[$ : $f$ est continue, strictement croissante, de $-2$ à $+\infty$ : une unique solution.
Aucune de ces solutions n'est $1$ ou $3$ (car $f(1)=2$ et $f(3)=-2$), elles sont distinctes. L'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions.
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- Sur $]-\infty\,;1]$, $f(x)\leqslant 2<3$ : aucune solution.
- Sur $[1\,;3]$, $-2\leqslant f(x)\leqslant 2$ : aucune solution.
- Sur $[3\,;+\infty[$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-2$ à $+\infty$, et $3\in[-2\,;+\infty[$ : une unique solution.
L'équation $f(x)=3$ admet exactement une solution.
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- Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est strictement croissante et $f(1)=2$, donc $f(x)<2$ pour $x<1$ ; la seule solution est $x=1$.
- Sur $[1\,;3]$ : $f$ est strictement décroissante et $f(1)=2$, donc $f(x)<2$ pour $1<x\leqslant 3$ ; la seule solution est encore $x=1$, déjà comptée.
- Sur $[3\,;+\infty[$ : une unique solution, comme à la question 4, et elle est différente de $1$.
L'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions.
Vérification : $(x-1)^2(x-4)=(x^2-2x+1)(x-4)=x^3-4x^2-2x^2+8x+x-4=x^3-6x^2+9x-4$.
Or $f(x)=2\iff x^3-6x^2+9x-4=0\iff (x-1)^2(x-4)=0\iff x=1$ ou $x=4$. On retrouve deux solutions, et $4\in[3\,;+\infty[$ comme prévu.
$f(x)=0$ : 3 solutions ; $f(x)=3$ : 1 solution ; $f(x)=2$ : 2 solutions, $x=1$ et $x=4$