Soit $k$ un réel. On cherche le nombre de solutions réelles de l'équation $(E_k)$ : $\mathrm{e}^{x}=kx$.
- Justifier que $0$ n'est jamais solution de $(E_k)$, puis que pour $x\neq 0$, $(E_k)$ équivaut à $\varphi(x)=k$, où $\varphi(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$.
- Étudier les variations de $\varphi$ sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, avec les limites aux bornes. On rappelle que $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.
- Discuter, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de $(E_k)$.
- Interpréter graphiquement le cas $k=\mathrm{e}$.
Calculer $\varphi'(x)$ : son signe est celui de $x-1$.
En $0^-$ et en $0^+$, le numérateur tend vers $1$ ; regarder le signe du dénominateur.
Distinguer les cas $k<0$, $k=0$, $0<k<\mathrm{e}$, $k=\mathrm{e}$ et $k>\mathrm{e}$, en raisonnant sur chaque intervalle de stricte monotonie.
-
Pour $x=0$ : $\mathrm{e}^0=1$ et $k\times 0=0$, et $1\neq 0$. Donc $0$ n'est jamais solution. Pour $x\neq 0$, en divisant par $x$ : $\mathrm{e}^x=kx\iff\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=k\iff\varphi(x)=k$.
-
$\varphi$ est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, et $$\varphi'(x)=\frac{\mathrm{e}^x\times x-\mathrm{e}^x\times 1}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)}{x^2}.$$ Comme $\mathrm{e}^x>0$ et $x^2>0$, $\varphi'(x)$ a le signe de $x-1$.
Limites :
- en $-\infty$ : $\mathrm{e}^x\to 0$ et $\dfrac1x\to 0$, donc $\varphi(x)\to 0$ ;
- en $0^-$ : $\mathrm{e}^x\to 1$ et $x\to 0$ avec $x<0$, donc $\varphi(x)\to-\infty$ ;
- en $0^+$ : $\varphi(x)\to+\infty$ ;
- en $+\infty$ : $\varphi(x)\to+\infty$ (croissances comparées).
De plus $\varphi(1)=\mathrm{e}$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\varphi'(x)$ | $-$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $\varphi(x)$ | $0$ | $\searrow$ | $-\infty\ \|\ +\infty$ | $\searrow$ | $\mathrm{e}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- $\varphi$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;0[$, $]0\,;1]$ et $[1\,;+\infty[$ (dérivable) et strictement monotone sur chacun.
- Sur $]-\infty\,;0[$ : $\varphi$ décroît strictement de $0$ (limite) à $-\infty$ ; elle prend une fois et une seule chaque valeur de $]-\infty\,;0[$, et aucune valeur positive ou nulle.
- Sur $]0\,;1]$ : $\varphi$ décroît strictement de $+\infty$ (limite) à $\mathrm{e}$ ; elle prend une fois chaque valeur de $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.
- Sur $[1\,;+\infty[$ : $\varphi$ croît strictement de $\mathrm{e}$ à $+\infty$ ; elle prend une fois chaque valeur de $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.
On en déduit :
- si $k<0$ : une solution dans $]-\infty\,;0[$, aucune dans $]0\,;+\infty[$ (où $\varphi>0$) : une solution ;
- si $0\leqslant k<\mathrm{e}$ : $\varphi(x)<0$ pour $x<0$ et $\varphi(x)\geqslant\mathrm{e}$ pour $x>0$ : aucune solution ;
- si $k=\mathrm{e}$ : la valeur $\mathrm{e}$ n'est atteinte qu'en $x=1$ (minimum sur $]0\,;+\infty[$) : une solution, $x=1$ ;
- si $k>\mathrm{e}$ : une solution dans $]0\,;1[$ et une dans $]1\,;+\infty[$ : deux solutions.
- Les solutions de $(E_k)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de l'exponentielle et de la droite $y=kx$. Pour $k=\mathrm{e}$, il y a un seul point commun, d'abscisse $1$. La tangente à la courbe de l'exponentielle en $1$ a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}=\mathrm{e}x$ : la droite $y=\mathrm{e}x$ est tangente à la courbe en ce point.
Aucune solution si $0\leqslant k<\mathrm{e}$ ; une solution si $k<0$ ou $k=\mathrm{e}$ ; deux solutions si $k>\mathrm{e}$