Terminale › Continuité › Opérations (admis)
Opérations (admis) : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Opérations (admis)
Si $u$ et $v$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :
- $u+v$, $u\times v$ et $\lambda u$ ($\lambda$ réel) sont continues sur $I$ ;
- si $v$ ne s'annule pas sur $I$, $\dfrac{u}{v}$ est continue sur $I$.
Composition : si $u$ est continue sur $I$, à valeurs dans un intervalle $J$, et si $g$ est continue sur $J$, alors $g\circ u$ est continue sur $I$.
Exemple
Justifier une continuité
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
- $x\mapsto x^2+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[1\,;+\infty[\subset[0\,;+\infty[$, et la racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ : par composition, $x\mapsto\sqrt{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- $x\mapsto -x$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\exp$ aussi : par composition, $x\mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- Par produit, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.