Dérivabilité et continuité : énoncé (Terminale spé)
Dérivabilité et continuité
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.
Démonstration : Dérivabilité et continuité
Dérivable implique continue
Supposons $f$ dérivable en $a$ : le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers le réel $f'(a)$ quand $x$ tend vers $a$.
Pour tout $x\neq a$ de $I$, on écrit $$f(x)=f(a)+(x-a)\times\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Quand $x\to a$ : $x-a\to 0$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a)$. Par produit, $(x-a)\times\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to 0\times f'(a)=0$.
Donc $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ : $f$ est continue en $a$.
La réciproque est fausse
Une fonction peut être continue en $a$ sans y être dérivable.
- La valeur absolue est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ : le taux $\dfrac{|h|}{h}$ vaut $1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$, il n'a pas de limite en $0$.
- La racine carrée est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ : $\dfrac{\sqrt h}{h}=\dfrac{1}{\sqrt h}\to+\infty$ quand $h\to 0^+$.
Convention dans les tableaux de variations
Dans un tableau de variations, une flèche oblique traduit, par convention, que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant. C'est cette convention qui permet d'appliquer directement les théorèmes de la section 4 à partir d'un tableau.
S’entraîner
- Continuité en un point de raccord
- Justifier la continuité d'une fonction
- Raccord avec paramètre, continuité sans dérivabilité
- Sujet type bac : suite récurrente et point fixe