Justifier que chacune des fonctions suivantes est continue sur l'intervalle indiqué.
- $f(x)=(x^2+1)\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
- $g(x)=\sqrt{4-x}$ sur $]-\infty\,;4]$.
- $h(x)=\dfrac{3x+1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$.
- $k(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$.
Repérer la structure de chaque expression : somme, produit, quotient ou composée.
Pour une composée avec la racine carrée, vérifier que la fonction à l'intérieur prend des valeurs positives sur l'intervalle.
Pour un quotient, vérifier que le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle.
-
$x\mapsto x^2+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb{R}$, et la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$. Par produit, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
-
Posons $u(x)=4-x$. La fonction $u$ est un polynôme, continue sur $]-\infty\,;4]$. Pour $x\leqslant 4$, on a $4-x\geqslant 0$ : $u$ est à valeurs dans $[0\,;+\infty[$. La racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$. Par composition, $g$ est continue sur $]-\infty\,;4]$.
-
Le numérateur $3x+1$ et le dénominateur $x^2+1$ sont des polynômes, continus sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $x^2+1\geqslant 1>0$ : le dénominateur ne s'annule pas. Par quotient, $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.
-
La fonction exponentielle est continue sur $]1\,;+\infty[$ et $x\mapsto x-1$ est un polynôme, continu sur $]1\,;+\infty[$, qui ne s'annule pas sur cet intervalle (pour $x>1$, $x-1>0$). Par quotient, $k$ est continue sur $]1\,;+\infty[$.
Les quatre fonctions sont continues sur l'intervalle indiqué.