Compatibilité avec les opérations : énoncé (Maths expertes)
Compatibilité avec les opérations
Soit $n \geqslant 2$. Si $a \equiv b \;[n]$ et $c \equiv d \;[n]$, alors :
- $a + c \equiv b + d \;[n]$ et $a - c \equiv b - d \;[n]$ ;
- $ac \equiv bd \;[n]$ ;
- pour tout $k \in \mathbb{N}$, $a^k \equiv b^k \;[n]$.
La congruence est aussi réflexive ($a \equiv a$), symétrique et transitive (si $a \equiv b$ et $b \equiv c$, alors $a \equiv c$).
Démonstration : Compatibilité avec les opérations
Preuve
On a $a - b = kn$ et $c - d = k'n$ avec $k, k' \in \mathbb{Z}$.
- $(a+c) - (b+d) = (k + k')n$, donc $a + c \equiv b + d \;[n]$. Même chose pour la différence.
- $ac - bd = a(c - d) + d(a - b) = (ak' + dk)n$, donc $ac \equiv bd \;[n]$.
- Pour les puissances, on raisonne par récurrence sur $k$. Pour $k = 0$ : $a^0 = 1 = b^0$. Si $a^k \equiv b^k \;[n]$, alors en multipliant cette congruence par $a \equiv b \;[n]$ (point précédent), on obtient $a^{k+1} \equiv b^{k+1} \;[n]$.
On ne divise pas une congruence
On peut multiplier une congruence, mais pas la simplifier en général.
Exemple : $4 \times 2 = 8$ et $4 \times 5 = 20$ ont le même reste $2$ modulo $6$, donc $4 \times 2 \equiv 4 \times 5 \;[6]$. Pourtant $2 \not\equiv 5 \;[6]$.
La simplification par $a$ est permise seulement si $a$ et $n$ sont premiers entre eux (voir le théorème de Gauss).
Reste de la division de 2^2026 par 7
On calcule les premières puissances de $2$ modulo $7$ : $2^1 \equiv 2$, $2^2 \equiv 4$, $2^3 = 8 \equiv 1 \;[7]$.
On divise l'exposant par $3$ : $2026 = 3 \times 675 + 1$. Donc $$2^{2026} = \left(2^3\right)^{675} \times 2 \equiv 1^{675} \times 2 \equiv 2 \;[7].$$ Comme $0 \leqslant 2 < 7$, le reste est $2$.