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Lien avec la division euclidienne : énoncé (Maths expertes)

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Lien avec la division euclidienne

Soit $n \geqslant 2$.

$a \equiv b \;[n]$ si et seulement si $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par $n$.
Si $r$ est le reste de la division de $a$ par $n$, alors $a \equiv r \;[n]$ avec $0 \leqslant r < n$.
$a \equiv 0 \;[n]$ si et seulement si $n \mid a$.

Démonstration : Lien avec la division euclidienne

Démonstration

Preuve du point 1

Écrivons $a = nq + r$ et $b = nq' + r'$ avec $0 \leqslant r < n$ et $0 \leqslant r' < n$. Alors $a - b = n(q - q') + (r - r')$.

Si $r = r'$, alors $a - b = n(q-q')$, donc $n \mid a-b$.
Si $n \mid a - b$, alors $n$ divise $(a-b) - n(q-q') = r - r'$. Or $-n < r - r' < n$, donc $r - r' = 0$.

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