Compatibilité avec les opérations : énoncé (MPSI)
Compatibilité avec les opérations
Pour tous réels $x, y, z, t$ :
- si $x \le y$, alors $x + z \le y + z$ ;
- si $x \le y$ et $z \le t$, alors $x + z \le y + t$ (on peut additionner des inégalités de même sens) ;
- si $x \le y$ et $z \ge 0$, alors $xz \le yz$ ; si $z \le 0$, alors $xz \ge yz$ ;
- si $0 \le x \le y$ et $0 \le z \le t$, alors $xz \le yt$ (on peut multiplier des inégalités entre réels positifs) ;
- si $0 < x \le y$, alors $0 < \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{x}$ ;
- si $0 \le x \le y$, alors $x^2 \le y^2$ et $\sqrt{x} \le \sqrt{y}$.
Démonstration : Compatibilité avec les opérations
Preuve des points 4, 5 et 6
Point 4 : par le point 3, $xz \le yz$ car $z \ge 0$, et $yz \le yt$ car $y \ge 0$. Par transitivité, $xz \le yt$.
Point 5 : $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{y - x}{xy}$. Le numérateur est positif ou nul et le dénominateur strictement positif, donc la différence est positive ou nulle.
Point 6 : $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$ est un produit de deux réels positifs, donc $y^2 \ge x^2$. Pour la racine, si on avait $\sqrt{y} < \sqrt{x}$, le cas déjà traité donnerait $y < x$ (en raisonnant avec des inégalités strictes de la même façon), ce qui contredit $x \le y$.
Ce qu'on n'a pas le droit de faire
On ne soustrait pas des inégalités membre à membre, et on ne les divise pas. Par exemple $3 \le 5$ et $1 \le 4$, mais $3 - 1 \le 5 - 4$ est faux.
Pour encadrer $x - y$, on encadre $-y$ puis on additionne. Pour encadrer $\dfrac{x}{y}$ avec $x, y > 0$, on encadre $\dfrac{1}{y}$ puis on multiplie des inégalités entre positifs.
Encadrer une différence et un quotient
On suppose $1 \le x \le 2$ et $3 \le y \le 4$.
Différence : $-4 \le -y \le -3$, puis en additionnant avec $1 \le x \le 2$ : $-3 \le x - y \le -1$.
Quotient : tous les réels sont strictement positifs, et $\dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{3}$. En multipliant par $1 \le x \le 2$ (inégalités entre positifs) : $\dfrac{1}{4} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2}{3}$.
S’entraîner
- Encadrer une différence, un quotient, un produit
- Équations et inéquations avec valeurs absolues
- Parties entières et valeurs décimales approchées
Dans le cours
Nombres réels : Compatibilité avec les opérations
Voir aussi en Maths expertes : Compatibilité avec les opérations