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Transitivité et combinaisons linéaires : énoncé (Maths expertes)
Propriété
Transitivité et combinaisons linéaires
Soient $a$, $b$, $c$ des entiers relatifs.
- Si $a \mid b$ et $b \mid c$, alors $a \mid c$.
- Si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors pour tous entiers $u$ et $v$, $a \mid bu + cv$.
En particulier, si $a$ divise $b$ et $c$, alors $a$ divise $b+c$ et $b-c$.
Démonstration : Transitivité et combinaisons linéaires
Démonstration
Preuve
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Il existe $k$ et $k'$ entiers tels que $b = ka$ et $c = k'b$. Alors $c = k'ka = (kk')a$ avec $kk' \in \mathbb{Z}$, donc $a \mid c$.
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Il existe $k$ et $k'$ entiers tels que $b = ka$ et $c = k'a$. Alors $bu + cv = kau + k'av = (ku + k'v)a$ avec $ku + k'v \in \mathbb{Z}$, donc $a \mid bu+cv$.
Exemple
Déterminer les entiers n tels que n + 2 divise 3n + 11
On cherche les entiers relatifs $n$ tels que $n+2 \mid 3n+11$.
- $n+2$ divise $n+2$, donc divise $3(n+2) = 3n+6$.
- Si $n+2 \mid 3n+11$, alors $n+2$ divise la différence $(3n+11)-(3n+6) = 5$.
- Donc $n+2 \in \{-5 ; -1 ; 1 ; 5\}$, c'est-à-dire $n \in \{-7 ; -3 ; -1 ; 3\}$.
Réciproquement, on vérifie : pour $n=3$, $5 \mid 20$ ; pour $n=-1$, $1 \mid 8$ ; pour $n=-3$, $-1 \mid 2$ ; pour $n=-7$, $-5 \mid -10$.
Les solutions sont $-7$, $-3$, $-1$ et $3$.