Division euclidienne : énoncé (Maths expertes)

Existence. Soit $q = \lfloor a/b \rfloor$ la partie entière de $a/b$ : c'est l'unique entier tel que $q \leqslant \frac{a}{b} < q+1$. Comme $b > 0$, on multiplie par $b$ : $bq \leqslant a < bq + b$. On pose $r = a - bq$. Alors $0 \leqslant r < b$ et $a = bq + r$.

Unicité. Supposons $a = bq + r = bq' + r'$ avec $0 \leqslant r < b$ et $0 \leqslant r' < b$. Alors $b(q - q') = r' - r$. Or $-b < r' - r < b$, et $r'-r$ est un multiple de $b$. Le seul multiple de $b$ strictement compris entre $-b$ et $b$ est $0$. Donc $r = r'$, puis $b(q-q') = 0$ avec $b \neq 0$, donc $q = q'$.