Traiter un problème de modélisation : méthode (Terminale spé)
Traiter un problème de modélisation
- Identifier la fonction inconnue, sa variable et les unités.
- Traduire l'énoncé en équation différentielle : « la vitesse de variation est proportionnelle à… » se traduit par $y'=k\times\dots$
- Mettre l'équation sous la forme $y'=ay+b$ et la résoudre.
- Utiliser la condition initiale (souvent la valeur à $t=0$).
- Répondre à la question posée : limite en $+\infty$, instant où un seuil est atteint (résolution avec $\ln$), interprétation concrète avec unités.
Refroidissement d'une tasse de café (loi de Newton)
Un café à $80\,^\circ\mathrm C$ est posé dans une pièce à $20\,^\circ\mathrm C$. Sa température $\theta(t)$, en $^\circ\mathrm C$, $t$ en minutes, vérifie $$\theta'(t)=-0{,}1\,\big(\theta(t)-20\big),\qquad \theta(0)=80.$$ Résolution. $\theta'=-0{,}1\,\theta+2$ : $a=-0{,}1$, $b=2$. Solution constante : $0=-0{,}1k+2$, soit $k=20$. Donc $\theta(t)=Ce^{-0{,}1t}+20$. Avec $\theta(0)=C+20=80$, on obtient $C=60$ : $$\theta(t)=20+60\,e^{-0{,}1t}.$$ Interprétation. $\lim\limits_{t\to+\infty}\theta(t)=20$ : le café tend vers la température de la pièce.
Seuil. $\theta(t)=50\iff 60e^{-0{,}1t}=30\iff e^{-0{,}1t}=\frac12\iff -0{,}1t=-\ln2\iff t=10\ln2$. Le café atteint $50\,^\circ\mathrm C$ au bout de $10\ln 2\approx6{,}9$ minutes.
Charge d'un condensateur (circuit RC)
Un condensateur initialement déchargé est relié à un générateur de tension constante $E$ à travers une résistance $R$. La tension $u$ à ses bornes vérifie $$RC\,u'(t)+u(t)=E,\qquad u(0)=0.$$ On isole $u'$ : $u'=-\frac{1}{RC}u+\frac{E}{RC}$. La solution constante est $u=E$. Donc $u(t)=Ke^{-\frac{t}{RC}}+E$, et $u(0)=0$ donne $K=-E$ : $$u(t)=E\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right).$$ La tension tend vers $E$. La constante $\tau=RC$ s'appelle constante de temps : $u(\tau)=E(1-e^{-1})\approx0{,}63\,E$.
Désintégration radioactive
Le nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs vérifie $N'(t)=-\lambda N(t)$, où $\lambda>0$ est la constante radioactive. Avec $N(0)=N_0$ : $$N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}.$$ La demi-vie $T$ est l'instant où la moitié des noyaux s'est désintégrée : $N_0e^{-\lambda T}=\frac{N_0}2\iff e^{-\lambda T}=\frac12\iff T=\frac{\ln 2}{\lambda}$. Elle ne dépend pas de $N_0$.
Biologie : croissance et perfusion
Croissance d'une population (modèle de Malthus). Si la vitesse de croissance est proportionnelle à l'effectif, $P'(t)=rP(t)$ avec $r>0$, donc $P(t)=P_0e^{rt}$ : la population croît exponentiellement.
Perfusion d'un médicament. Un patient reçoit $2$ mg de médicament par heure ; son organisme en élimine une quantité proportionnelle à la quantité présente, avec un coefficient $0{,}5\ \mathrm h^{-1}$. La quantité $q(t)$, en mg, vérifie $$q'(t)=-0{,}5\,q(t)+2,\qquad q(0)=0.$$ Solution constante : $0=-0{,}5k+2$, soit $k=4$. Donc $q(t)=Ce^{-0{,}5t}+4$, et $q(0)=0$ donne $C=-4$ : $$q(t)=4\left(1-e^{-0{,}5t}\right).$$ La quantité tend vers $4$ mg : c'est l'équilibre où l'élimination compense exactement l'apport.
Vérification : $q'(t)=2e^{-0{,}5t}$ et $-0{,}5\,q(t)+2=-2+2e^{-0{,}5t}+2=2e^{-0{,}5t}$.
Au-delà du programme : le modèle logistique
Le modèle de Malthus devient irréaliste sur le long terme. Le modèle logistique $P'=rP\left(1-\frac PK\right)$ tient compte d'une capacité maximale $K$. Cette équation n'est pas du type $y'=ay+b$ et sa résolution générale est hors programme. Dans les sujets de bac, elle est ramenée à une équation $y'=ay+b$ par un changement de fonction indiqué, par exemple $y=\frac1P$, avec toutes les étapes guidées.
Approcher une solution : la méthode d'Euler
Quand on ne sait pas résoudre une équation $y'=F(x,y)$, on peut approcher la solution. On part de $(x_0,y_0)$ et on choisit un pas $h$ petit. Comme $y(x+h)\approx y(x)+h\,y'(x)$, on construit $$x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h\,F(x_n,y_n).$$ Pour $y'=ay+b$, cela donne $y_{n+1}=y_n+h(ay_n+b)$, qui se programme en quelques lignes avec une boucle. Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation en général.
S’entraîner
- Vérifier qu'une fonction est solution
- Primitives des fonctions de référence
- Reconnaître une forme composée
Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Traiter un problème de modélisation