Dans chaque cas, déterminer une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $I$ indiqué.
- $f(x)=4x^3-6x^2+2x-5$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=\frac{3}{x^2}+\frac{1}{\sqrt x}$, $I=]0;+\infty[$.
- $f(x)=2\cos x-5\sin x$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=e^{x}-\frac1x$, $I=]0;+\infty[$.
- $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$, $I=]0;+\infty[$.
Traiter chaque terme séparément grâce à la linéarité, avec le tableau des primitives usuelles.
Pour la question 5, il n'y a pas de règle pour un quotient : commencer par simplifier l'expression.
Vérifier chaque résultat en le dérivant.
1. Par linéarité, avec $x^n\mapsto\frac{x^{n+1}}{n+1}$ : $F(x)=4\times\frac{x^4}{4}-6\times\frac{x^3}{3}+2\times\frac{x^2}{2}-5x=x^4-2x^3+x^2-5x$.
Vérification : $F'(x)=4x^3-6x^2+2x-5$.
2. Une primitive de $\frac1{x^2}$ sur $]0;+\infty[$ est $-\frac1x$, une primitive de $\frac1{\sqrt x}$ est $2\sqrt x$. Donc $F(x)=-\frac3x+2\sqrt x$.
Vérification : $F'(x)=\frac3{x^2}+\frac{2}{2\sqrt x}=\frac3{x^2}+\frac1{\sqrt x}$.
3. Une primitive de $\cos$ est $\sin$, une primitive de $\sin$ est $-\cos$. Donc $F(x)=2\sin x-5\times(-\cos x)=2\sin x+5\cos x$.
Vérification : $F'(x)=2\cos x-5\sin x$.
4. Sur $]0;+\infty[$, une primitive de $\frac1x$ est $\ln x$. Donc $F(x)=e^{x}-\ln x$.
5. Pour $x>0$, $f(x)=\frac{x^2}{x}+\frac1x=x+\frac1x$. Donc $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x$.
Vérification : $F'(x)=x+\frac1x=\frac{x^2+1}{x}$.
$x^4-2x^3+x^2-5x$ ; $-\frac3x+2\sqrt x$ ; $2\sin x+5\cos x$ ; $e^x-\ln x$ ; $\frac{x^2}{2}+\ln x$