Dans chaque cas, déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ indiqué.
- $f(x)=e^{-2x+1}$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=x\,(x^2+3)^4$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=\frac{3x^2}{x^3+1}$, $I=]-1;+\infty[$.
- $f(x)=\sin(3x)$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=x\,e^{-x^2}$, $I=\mathbb R$.
Repérer dans chaque cas une fonction $u$ et calculer $u'$.
Écrire $f$ sous la forme $k\times(\text{forme exacte})$ pour ajuster la constante.
Pour la question 3, justifier que $u>0$ sur $I$ avant d'utiliser le logarithme.
1. Avec $u(x)=-2x+1$, $u'(x)=-2$, on écrit $f=-\frac12\,u'e^{u}$. Une primitive est $F(x)=-\frac12e^{-2x+1}$.
Vérification : $F'(x)=-\frac12\times(-2)e^{-2x+1}=e^{-2x+1}$.
2. Avec $u(x)=x^2+3$, $u'(x)=2x$, on écrit $f=\frac12\,u'u^4$. Une primitive est $\frac12\times\frac{u^5}{5}$, soit $F(x)=\frac{(x^2+3)^5}{10}$.
Vérification : $F'(x)=\frac{5\times2x\,(x^2+3)^4}{10}=x(x^2+3)^4$.
3. Avec $u(x)=x^3+1$, $u'(x)=3x^2$, on a $f=\frac{u'}{u}$. Sur $]-1;+\infty[$, la fonction cube étant strictement croissante, $x^3>(-1)^3=-1$, donc $u(x)>0$. Une primitive est $F(x)=\ln(x^3+1)$.
4. Avec $u(x)=3x$, $u'=3$, on écrit $f=\frac13\,u'\sin u$. Une primitive est $F(x)=-\frac13\cos(3x)$.
Vérification : $F'(x)=-\frac13\times(-3\sin(3x))=\sin(3x)$.
5. Avec $u(x)=-x^2$, $u'(x)=-2x$, on écrit $f=-\frac12\,u'e^{u}$. Une primitive est $F(x)=-\frac12e^{-x^2}$.
Vérification : $F'(x)=-\frac12\times(-2x)e^{-x^2}=x\,e^{-x^2}$.
$-\frac12e^{-2x+1}$ ; $\frac{(x^2+3)^5}{10}$ ; $\ln(x^3+1)$ ; $-\frac13\cos(3x)$ ; $-\frac12e^{-x^2}$