On considère l'équation différentielle $(E) : y'=-y+2x+1$ sur $\mathbb R$.
- Montrer que la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=4e^{-x}+2x-1$ est solution de $(E)$.
- La fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $h(x)=e^{x}+2x-1$ est-elle solution de $(E)$ ?
- La fonction affine $p$ définie par $p(x)=2x-1$ est-elle solution de $(E)$ ?
Pour chaque fonction, calculer séparément le membre de gauche $y'(x)$ et le membre de droite $-y(x)+2x+1$.
Pour montrer qu'une fonction n'est pas solution, il suffit de trouver une valeur de $x$ où l'égalité est fausse.
1. La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $g'(x)=-4e^{-x}+2$.
D'autre part, $-g(x)+2x+1=-4e^{-x}-2x+1+2x+1=-4e^{-x}+2$.
Donc $g'(x)=-g(x)+2x+1$ pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
2. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $h'(x)=e^{x}+2$. D'autre part, $-h(x)+2x+1=-e^{x}-2x+1+2x+1=-e^{x}+2$.
En $x=0$ : $h'(0)=3$ alors que $-h(0)+2\times0+1=-0+1=1$, car $h(0)=1+0-1=0$. L'égalité est fausse en $0$, donc $h$ n'est pas solution de $(E)$.
3. $p'(x)=2$ et $-p(x)+2x+1=-2x+1+2x+1=2$. L'égalité est vraie pour tout réel $x$ : $p$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
$g$ et $p$ sont solutions, $h$ ne l'est pas