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Formes composées : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Formes composées
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Chaque formule vient de la dérivée d'une composée $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$.
| fonction | une primitive | condition |
|---|---|---|
| $u'\,u^n$, $n\in\mathbb Z$, $n\neq -1$ | $\frac{u^{n+1}}{n+1}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ si $n<0$ |
| $\frac{u'}{u^2}$ | $-\frac1u$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\frac{u'}{\sqrt u}$ | $2\sqrt u$ | $u>0$ sur $I$ |
| $\frac{u'}{u}$ | $\ln u$ | $u>0$ sur $I$ |
| $u'\,e^u$ | $e^u$ | |
| $u'\cos u$ | $\sin u$ | |
| $u'\sin u$ | $-\cos u$ |
Cas particulier très fréquent : si $F$ est une primitive de $f$, une primitive de $x\mapsto f(ax+b)$ (avec $a\neq0$) est $x\mapsto \frac1a F(ax+b)$. Par exemple, une primitive de $e^{3x}$ est $\frac13e^{3x}$.