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Calculer une primitive : méthode (Terminale spé)

Méthode

Calculer une primitive

  1. Décomposer $f$ en somme de termes simples (linéarité).
  2. Pour chaque terme, reconnaître une fonction de référence ou une forme composée : repérer $u$, calculer $u'$.
  3. Ajuster la constante multiplicative : écrire le terme sous la forme $k\times(\text{forme exacte})$.
  4. Écrire la primitive et préciser l'intervalle.
  5. Vérifier en dérivant. Cette étape prend dix secondes et évite la plupart des erreurs.
Exemple

Exemples corrigés

  • $f(x)=3x^2-4x+5$ sur $\mathbb R$ : $F(x)=x^3-2x^2+5x$.
  • $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ : c'est $\frac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$, donc $F(x)=\ln(x^2+1)$.
  • $f(x)=x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$, on écrit $f=\frac12\,u'e^u$, donc $F(x)=\frac12e^{x^2}$.
  • $f(x)=(2x+1)^3$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=2x+1$, $u'=2$, on écrit $f=\frac12\,u'u^3$, donc $F(x)=\frac12\times\frac{(2x+1)^4}{4}=\frac{(2x+1)^4}{8}$.
  • $f(x)=\frac{1}{(3x-1)^2}$ sur $\left]\frac13;+\infty\right[$ : avec $u(x)=3x-1$, $u'=3$, $f=\frac13\,\frac{u'}{u^2}$, donc $F(x)=-\frac{1}{3(3x-1)}$.
  • $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ sur $\mathbb R$ : avec $u(x)=x^2+4>0$, $u'(x)=2x$, $f=\frac12\,\frac{u'}{\sqrt u}$, donc $F(x)=\frac12\times2\sqrt{x^2+4}=\sqrt{x^2+4}$.
  • $f(x)=\cos(2x)$ sur $\mathbb R$ : $F(x)=\frac12\sin(2x)$.
  • $f(x)=\frac{1}{2x+1}$ sur $\left]-\frac12;+\infty\right[$ : $f=\frac12\,\frac{u'}{u}$ avec $u(x)=2x+1>0$, donc $F(x)=\frac12\ln(2x+1)$.

Vérification du quatrième exemple : $\left(\frac{(2x+1)^4}{8}\right)'=\frac{4\times2\,(2x+1)^3}{8}=(2x+1)^3$.

Remarque

Quand $u$ est négative

Si $u<0$ sur $I$, une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln(-u)$, car $(\ln(-u))'=\frac{-u'}{-u}=\frac{u'}{u}$. Par exemple, une primitive de $\frac1x$ sur $]-\infty;0[$ est $\ln(-x)$. La notation $\ln|u|$ qui regroupe les deux cas est hors programme ; on peut la rencontrer dans des livres de prépa.

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Dans le cours

Primitives et équations différentielles : Calculer une primitive