Dans chaque cas, déterminer une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ indiqué, en justifiant.
- $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, $I=]0;+\infty[$.
- $f(x)=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^2}$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=\cos x\,\sin^3 x$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$, $I=\mathbb R$.
- $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$, $I=]1;+\infty[$.
Dans chaque expression, chercher une fonction $u$ dont la dérivée apparaît en facteur.
Question 1 : $\frac{\ln x}{x}=\frac1x\times\ln x$. Question 5 : $\frac1{x\ln x}=\frac{1/x}{\ln x}$.
Pour les formes en $\ln u$, vérifier que $u>0$ sur $I$ (discriminant pour la question 4).
1. Avec $u(x)=\ln x$, $u'(x)=\frac1x$ : $f=u'u$, de la forme $u'u^n$ avec $n=1$. Une primitive est $F(x)=\frac{(\ln x)^2}{2}$.
Vérification : $F'(x)=\frac{2\ln x\times\frac1x}{2}=\frac{\ln x}{x}$.
2. Avec $u(x)=e^{x}+1$, qui ne s'annule pas sur $\mathbb R$, et $u'(x)=e^{x}$ : $f=\frac{u'}{u^2}$. Une primitive est $F(x)=-\frac{1}{e^{x}+1}$.
3. Avec $u(x)=\sin x$, $u'(x)=\cos x$ : $f=u'u^3$. Une primitive est $F(x)=\frac{\sin^4 x}{4}$.
Vérification : $F'(x)=\frac{4\sin^3x\cos x}{4}=\cos x\sin^3x$.
4. Avec $u(x)=x^2+x+1$, $u'(x)=2x+1$ : $f=\frac{u'}{u}$. Le trinôme $x^2+x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$ et un coefficient dominant positif : il est strictement positif sur $\mathbb R$. Une primitive est $F(x)=\ln(x^2+x+1)$.
5. Avec $u(x)=\ln x$, $u'(x)=\frac1x$ : $f=\frac{u'}{u}$. Sur $]1;+\infty[$, $\ln x>0$. Une primitive est $F(x)=\ln(\ln x)$.
Vérification : $F'(x)=\frac{1/x}{\ln x}=\frac1{x\ln x}$.
$\frac{(\ln x)^2}{2}$ ; $-\frac1{e^x+1}$ ; $\frac{\sin^4x}{4}$ ; $\ln(x^2+x+1)$ ; $\ln(\ln x)$