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Étudier les variations d'une fonction : méthode (Première spé)

Méthode

Étudier les variations d'une fonction

  1. Préciser l'ensemble sur lequel $f$ est dérivable.
  2. Calculer $f'(x)$.
  3. Mettre $f'(x)$ sous une forme dont on sait étudier le signe : produit de facteurs du premier degré, trinôme, quotient à dénominateur positif.
  4. Dresser le tableau de signes de $f'(x)$.
  5. En déduire le tableau de variations de $f$, complété par les valeurs de $f$ aux points où $f'$ change de signe (et aux bornes lorsqu'elles appartiennent à l'ensemble d'étude).
Exemple

Une fonction polynôme de degré 3

Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ sur $\mathbb{R}$.

$f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3).$$ Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour discriminant $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times(-3)=16$, donc deux racines : $x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ et $x_2=\frac{2+4}{2}=3$. Ainsi $f'(x)=3(x+1)(x-3)$, qui est du signe de $3$, donc positif, à l'extérieur des racines.

Valeurs utiles : $f(-1)=-1-3+9+5=10$ et $f(3)=27-27-27+5=-22$.

$x$ $-\infty$ $-1$ $3$ $+\infty$
signe de $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
variations de $f$ ↗ $10$ ↘ $-22$ ↗

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$, décroissante sur $[-1\,;3]$ et croissante sur $[3\,;+\infty[$.

Exemple

Une fonction rationnelle

Pour $f_3(x)=\frac{x-1}{x+2}$, on a obtenu $f_3'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}$. Ce quotient est strictement positif pour tout $x\neq -2$. Donc $f_3$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;-2[$ et strictement croissante sur $]-2\,;+\infty[$.

Remarque

Dérivée nulle en un point isolé

Pour $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$ est strictement positif sauf en $0$, où il s'annule. D'après le théorème, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Une annulation ponctuelle de $f'$ ne casse pas la stricte monotonie.

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Dans le cours

Dérivation : Étudier les variations d'une fonction