Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$ : énoncé (Première spé)
Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$
Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, et $a$, $b$ deux réels. La fonction $f:x\mapsto g(ax+b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $ax+b\in J$, et $$f'(x)=a\,g'(ax+b).$$
Démonstration : Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$
Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$
Si $a=0$, $f$ est constante égale à $g(b)$, et $f'(x)=0=0\times g'(b)$. Supposons $a\neq 0$. Soit $x$ tel que $ax+b\in J$ et $h\neq 0$ assez proche de $0$. On pose $X=ax+b$ et $k=ah$, qui est non nul. Comme $\frac{1}{h}=\frac{a}{k}$ : $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{g(ax+b+ah)-g(ax+b)}{h}=a\times\frac{g(X+k)-g(X)}{k}.$$ Quand $h$ tend vers $0$, $k=ah$ tend vers $0$, donc $\frac{g(X+k)-g(X)}{k}$ tend vers $g'(X)$. Le taux de variation de $f$ tend vers $a\,g'(X)=a\,g'(ax+b)$.
Composée avec une fonction affine
5. $f_5(x)=(3x-2)^5$ sur $\mathbb{R}$. On a $f_5(x)=g(3x-2)$ avec $g(X)=X^5$, $g'(X)=5X^4$ et $a=3$ : $$f_5'(x)=3\times 5(3x-2)^4=15(3x-2)^4.$$
6. $f_6(x)=\sqrt{4-2x}$. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et $4-2x>0\iff x<2$. Sur $]-\infty\,;2[$, avec $g(X)=\sqrt{X}$ et $a=-2$ : $$f_6'(x)=-2\times\frac{1}{2\sqrt{4-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-2x}}.$$
S’entraîner
- Automatisme : dérivée nulle et extremum
- Calculs de dérivées : les formules de base
- Dériver et factoriser
- Variations et extremums d'une fonction de degré 3
- Distance minimale d'un point à une courbe