Somme, produit, inverse, quotient : énoncé (Première spé)
Somme, produit, inverse, quotient
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.
| Opération | Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|---|
| Somme | $u+v$ | $u'+v'$ | |
| Produit par un réel | $ku$ | $ku'$ | |
| Produit | $uv$ | $u'v+uv'$ | |
| Inverse | $\frac{1}{v}$ | $-\frac{v'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
| Quotient | $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ | $v$ ne s'annule pas sur $I$ |
Conséquences : une fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; un quotient de deux polynômes est dérivable sur chaque intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.
Démonstration : Somme, produit, inverse, quotient
Dérivée d'un produit
Soit $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$. On ajoute et on retranche $u(a)v(a+h)$ : $$u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)=\big(u(a+h)-u(a)\big)v(a+h)+u(a)\big(v(a+h)-v(a)\big).$$ En divisant par $h$ : $$\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}.$$ Quand $h$ tend vers $0$ :
- $\frac{u(a+h)-u(a)}{h}$ tend vers $u'(a)$ et $\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ tend vers $v'(a)$, car $u$ et $v$ sont dérivables en $a$ ;
- $v(a+h)$ tend vers $v(a)$. En effet, $v(a+h)=v(a)+h\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$, et le produit $h\times\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ tend vers $0\times v'(a)=0$.
Le taux de variation de $uv$ en $a$ tend donc vers $u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$. Ainsi $uv$ est dérivable en $a$ et $(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.
Du produit au quotient
La formule de l'inverse est admise. Celle du quotient s'en déduit en écrivant $\frac{u}{v}=u\times\frac{1}{v}$ et en appliquant la formule du produit : $$\left(\frac{u}{v}\right)'=u'\times\frac{1}{v}+u\times\left(-\frac{v'}{v^2}\right)=\frac{u'v}{v^2}-\frac{uv'}{v^2}=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$
Somme et produit
1. $f_1(x)=3x^4-5x^2+2x-7$ sur $\mathbb{R}$. C'est une somme : $$f_1'(x)=3\times 4x^3-5\times 2x+2=12x^3-10x+2.$$
2. $f_2(x)=(2x+1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. C'est un produit $uv$ avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $v(x)=\sqrt{x}$, $v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ : $$f_2'(x)=2\sqrt{x}+(2x+1)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+2x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{4x+2x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{6x+1}{2\sqrt{x}}.$$
Quotient et inverse
3. $f_3(x)=\frac{x-1}{x+2}$, dérivable sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]-2\,;+\infty[$. Avec $u(x)=x-1$, $u'(x)=1$, $v(x)=x+2$, $v'(x)=1$ : $$f_3'(x)=\frac{1\times(x+2)-(x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\frac{3}{(x+2)^2}.$$
4. $f_4(x)=\frac{1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ (le dénominateur vaut au moins $1$, il ne s'annule pas). Avec $v(x)=x^2+1$, $v'(x)=2x$ : $$f_4'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$
S’entraîner
- Automatisme : dériver de tête un polynôme
- Calculs de dérivées : les formules de base
- Dériver et factoriser
- Distance minimale d'un point à une courbe
- Encadrement d'une fonction rationnelle