Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^3+3x^2+12x-4$.
- Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=-6(x+1)(x-2)$.
- Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (sans les limites). Préciser les extremums locaux.
- Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
- Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur l'intervalle $[-2\,;3]$.
Factoriser $-6$ dans $f'(x)$, puis chercher les racines du trinôme restant.
Un trinôme est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur de ses racines.
Pour la question 4, comparer les extremums locaux avec les valeurs aux bornes $-2$ et $3$.
1. $f$ est une fonction polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x^2-x-2).$$ Le trinôme $x^2-x-2$ a pour discriminant $\Delta=1+8=9$, donc deux racines $\frac{1-3}{2}=-1$ et $\frac{1+3}{2}=2$. Ainsi $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ et $f'(x)=-6(x+1)(x-2)$.
2. $f'(x)$ est un trinôme de coefficient dominant $-6<0$, de racines $-1$ et $2$ : il est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
Valeurs : $f(-1)=2+3-12-4=-11$ et $f(2)=-16+12+24-4=16$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| signe de $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | ||
| variations de $f$ | ↘ | $-11$ | ↗ | $16$ | ↘ |
$f'$ s'annule en $-1$ en passant de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum local égal à $-11$ en $-1$. $f'$ s'annule en $2$ en passant de $+$ à $-$ : $f$ admet un maximum local égal à $16$ en $2$.
3. $f(0)=-4$ et $f'(0)=12$. La tangente a pour équation $y=12(x-0)-4$, soit $y=12x-4$.
4. Sur $[-2\,;3]$, $f$ est décroissante sur $[-2\,;-1]$, croissante sur $[-1\,;2]$, décroissante sur $[2\,;3]$. On calcule les valeurs aux bornes : $$f(-2)=16+12-24-4=0,\qquad f(3)=-54+27+36-4=5.$$ Le maximum est le plus grand des nombres $f(-2)=0$ et $f(2)=16$ : c'est $16$, atteint en $2$. Le minimum est le plus petit des nombres $f(-1)=-11$ et $f(3)=5$ : c'est $-11$, atteint en $-1$.
Minimum local $-11$ en $-1$, maximum local $16$ en $2$ ; tangente $y=12x-4$ ; sur $[-2\,;3]$ : max $16$, min $-11$